loading邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。第12课时 二次函数
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中考回顾
1.(2017天津中考)已知抛物线y=x-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该
抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为()
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A.y=x+2x+1 B.y=x+2x-1
22
C.y=x-2x+1 D.y=x-2x-1 答案:A 2
2.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()
2
A.abc<0,b-4ac>0
2
B.abc>0,b-4ac>0
2
C.abc<0,b-4ac<0
2
D.abc>0,b-4ac<0 答案:B 2
3.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是. 答案:m<2
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4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
2
备用图
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2,若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
2
解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)+4.
∵点B(3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
∵点D在y轴上,所以可令x=0,解得:y=3.
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。∴点D的坐标为(0,3).
设直线BD的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1. ∴直线BD的解析式为y=-x+3. (2)设点P的横坐标为P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-m(m>0),则
,PM最大值为
(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2
设Q(x,-x+2x+3),则G(x,-x+3), QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|. ∵△DOB是等腰直角三角形, ∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.
2
∴sin∠1=2
,∴QG=4.
得|-x+3x|=4,
2
当-x+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.
2
当-x+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).
模拟预测
1.已知二次函数y=kx-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是() A.k<3 B.k<3,且k≠0 C.k≤3 D.k≤3,且k≠0 答案:D 2.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x+2x上,则下列结论正确的是() A.y1 2 2 B.y2 2 时,y1=-x2+2x=-2 (-2)+2×(-2)=-2-4=-6,x=-18+2×8=-32+16=-16. 2 2 时,y2=-x+2x=-(-1)+2×(-1)=--2=-2,x=8时,y3=-x+2x=-∵-16<-6<-2,∴y3 答案:C 2 3.已知一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是() 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。解析:∵x1+x2=4,∴-=4. ∴二次函数的对称轴为x=-=2. ∵x1·x2=3, =3. 当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴. 答案:C 2 4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax+bx+c的图象时,列了如下表格: x y … … -2 -6 -1 -4 0 1 2 … … -2 -2 -2 2 根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax+bx+c在x=3时,y=. 答案:-4 2 5.若关于x的函数y=kx+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为. 答案:k=0或k=-1 6. 2 抛物线y=-x+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为. 解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以-=1,即b=2. 把点(3,0)代入y=-x+2x+c,得c=3. 22 故原图象的解析式为y=-x+2x+3,即y=-(x-1)+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位, 22 得y=-(x-1+2)+4-3,即y=-x-2x. 2 答案:y=-x-2x 7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条. 2 (1)如图②,已知抛物线L3:y=2x-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标; (2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围; 22 (3)若抛物线y=a1(x-m)+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由. 2 邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。 解:(1)∵抛物线L3:y=2x-8x+4, ∴y=2(x-2)2-4. ∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2, 设x=0,则y=4,∴C(0,4). ∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4). 2 (2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4. (3)a1=-a2, 理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上, 2 ∴可以列出两个方程 由①+②,得(a1+a2)(m-h)=0,∴a1=-a2. 2