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中 考 数 学 专 题—最 值 经 典
第十四讲：瓜豆原理类问题
古人云：“种瓜得瓜，种豆得豆”。讲述的是哲学中的因果原理。即：种什么因就得什么果。
所谓“瓜豆原理”，讲述的是两个动点的轨迹之间的关系。也就是说主动点的轨迹与从动点的轨迹一样的。 【方法指导】
主动点的轨迹是圆，从动点的轨迹也是圆；主动点的轨迹是线，从动点的轨迹也是线。
【核心提炼】
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
解决问题的策略：
1、两动：一个主动点，一个从动点
2、一定：瓜豆原理的前提是必须存在定点来充当旋转中心或者位似中心，使主动点经过相应的变换得到从动点。可谓“无定点，不瓜豆”。 旋转篇之轨迹是圆
引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
QAPO
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．只需要确定圆心与半径． ∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
∵AP=AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
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MQPAO
引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
QAPO
【分析】
Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆： ∵∠PAQ=60°，∴Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°； ∵AP=AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
QMP60°AO
【基本模型】瓜豆原理初体验
如图，正方形ABCD中，AB＝2
，O是BC边的中点，点E是正方形内一动
点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（ ）
A．2
B．
+2
C．2
﹣2
D．5
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【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
ADEBOCF
∵DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO， ∴F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
ADMEFBOC
连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可得OM＝5OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
AD，根据
FEBOCM 解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°， ∴∠EDO＝∠FDM， ∵DE＝DF，DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM（SAS）， ∴FM＝OE＝2， ∵正方形ABCD中，AB＝2∴OC＝∴OD＝∴OM＝
∵OF+MF≥OM， ∴OF≥故选：D．
方法策略模式：利用全等找出圆心和半径即可。
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，O是BC边的中点，
，
， ，
．