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第26周最小公倍数（一）
一、知识要点
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a，b]，当（a，b）＝1时，[a，b]＝a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系： 最大公约数×最小公倍数＝两数的乘积 即（a，b）×[a，b]＝a×b
要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。
二、精讲精练
【例题1】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？ 【思路导航】根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：
当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1＝15，15×6＝90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2＝20，15×3＝45。所以，这两个数是15和90或者30和45。
练习1：
1.两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？ 因为90÷9＝10，10分解成两个互质的数有两种情况，即1和10、2和5， 所以这两个数有两种情况： （1）9×1＝9，9×10＝90； （2）9×2＝18，9×5＝45。 答：这两个数是9和90或18和45。
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2.两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？ 因为60÷12＝5，5＝1×5，所以这两个数分别是：12×1＝12，12×5＝60。 12＋60＝72
答：这两个数的和是12＋60＝72。
3.两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？
因为720÷60＝12，12分解成两个互质的数有两种情况，即1和12、3和4， 所以这两个数有两种情况：
（1）60×1＝60，60×12＝720；（不符合题意） （2）60×3＝180，60×4＝240。（符合题意） 答：另一个数是240。
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【例题2】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？ 【思路导航】我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120＝3。又因为（甲÷3＝a，乙÷3＝b）中，3×a×b＝120，即a×b＝40，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1＝3和3×40＝120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5＝15和3×8＝24。
练习2：
1.求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。 （36，24）＝12 [36，24]＝72 12×72＝864
答：36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积是864。
2.已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。
3072＝16×16×12，因为两个数最大公约数是16，所以它们除了16之外的其他因数应该互质。
12分解成两个互质的数有两种情况，即1和12、3和4， 所以这两个数有两种情况： （1）16×1＝16，16×12＝192； （2）16×3＝48，16×4＝64。 答：这两个数是16和192或48和64。
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3.已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。 因为78÷13＝6，6分解成两个互质的数有两种情况，即1和6、2和3， 所以这两个数有两种情况： （1）13×1＝13，13×6＝78； （2）13×2＝26，13×3＝39。 所以这两个数的差也有两种情况： （1）78－13＝65； （2）39－26＝13。
答：这两个数的差65或13。
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