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3.1.2 共面向量定理
一、基础过关
1． 当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是________．(填“共面”“不
共面”)
2． 在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．
→2→1→1→①OM＝OA－OB－OC
555→1→1→1→②OM＝OA＋OB＋OC
532→→→③MA＋MB＋MC＝0 →→→→④OM＋OA＋OB＋OC＝0
3． 三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法
确定是否共面”)．
→→→→
4． 已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，λ的值为________．
→→→→
5． 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的对角线的交点，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，
则x，y的值分别为________．
6． 下面关于空间向量的说法正确的是________(填序号)．
①若向量a、b平行，则a、b所在的直线平行；
②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b不共面；
→→
③若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、CD不共面；
→→→
④若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、AC、AD不共面． 7． 下列结论中，正确的是________(填序号)．
①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc； ②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc； ④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．
8． 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CC1、CD的中点，则下列结论错误的是
________(填序号)． →1→①MN＝C1D；
2
→→→→②AC1＝AB＋AD＋AA1； →→→
③B1M、A1D与A1D1共面； →1→→
④BN＝(BA＋BC)．
2二、能力提升
→→→
9． 已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2.求证：A、B、
C、D共面．
- 1 -
→2→1→2→
10．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有OP＝OA＋OB＋OC.求证：P、A、B、
555
C四点共面．
→→→
11．对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试判断：EF与BC、AD的关系． 12．
12
如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝
33
DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
→→→→
(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值． 三、探究与拓展 13．
→→→
如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C，OD，OC1是共面向量．
- 2 -
答案 1． 共面 2．③ 3．共面 4．3 5．12，1
2 6．④ 7．②③④ 8．④
9． 证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋
v(3e1－3e2)＝0.
则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.
∵e??λ＋2μ＋3v＝0，
1、e2不共线，∴??＋8μ－3v＝0，
?λ?λ＝－5易知?
?μ＝1
是其中一组解，
??v＝1
则－5→AB＋→AC＋→
AD＝0， ∴A、B、C、D共面．
10．证明 ∵→OP＝2→1→2→
5OA＋5OB＋5
OC，
∴→OP＝???1－125－5??→1→2→?
OA＋5OB＋5OC
＝→OA＋15(→OB－→
OA)＋2→→5(OC－OA)
＝→OA＋1→2→5AB＋5
AC，
∴→OP－→OA＝1→5AB＋2→5
AC，
∴→AP＝1→2→5AB＋5AC，
∴向量→AP、→AB、→
AC共面，
而线段AP、AB、AC有公共点， ∴P、A、B、C四点共面． 11．解 如图所示．
空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得：→EF＝→EA＋→AD＋→DF① →EF＝→EB＋→BC＋→CF②
又E、F分别是AB、CD的中点．
故有→EA＝－→EB，→DF＝－→CF③
将③代入①得→EF＝－→EB＋→AD－→
CF④
②＋④得：2→EF＝→AD＋→
BC
- 3 -
所以→EF＝1→2AD＋1→2BC，
即→EF与→BC、→
AD共面．
12．(1)证明 ∵AC→→→AA→
1＝AB＋AD＋1
＝→AB＋→AD＋13AA→2→1＋3
AA1
＝??→?
AB＋13AA→???→2→1?＋??AD＋3AA1???
＝(→AB＋→BE)＋(→AD＋→DF)＝→AE＋→AF. ∴A、E、C1、F四点共面．
(2)解 ∵→EF＝→AF－→
AE ＝→AD＋→DF－(→AB＋→BE) ＝→AD＋2→→3DD－AB－1→13BB1
＝－→AB＋→AD＋1→3
AA1，
且→EF＝xAB→＋yAD→＋zAA→1.
则x＋y＋z＝－1＋1＋11
3＝3
.
13．证明 设C→
1B1＝a，
C→→
1D1＝b，C1C＝c，
∵四边形B1BCC1为平行四边形， ∴B→
1C＝c－a，
又O是B1D1的中点， ∴C→1
1O＝2(a＋b)，
∴OC→
11＝－2
(a＋b)，
OD→＝C→→
111D1－C1O＝b－2
(a＋b)
＝1
2
(b－a)． ∵DC→
1D綊1C，∴D1D＝c， ∴→OD＝OD→→1
1＋D1D＝2
(b－a)＋c.
若存在实数x、y，使B→→→
1C＝xOD＋yOC1 (x，y∈R)成立，则c－a＝x??1?2b－a＋c???＋ y??1?－2a＋b??? ＝－12(x＋y)a＋1
2(x－y)b＋xc.
∵a、b、c不共线，
- 4 -
??∴?1
x－y2??x＝1，
1
x＋y＝1，2
＝0，
??x＝1，得?
?y＝1.?
→→→→→→
∴B1C＝OD＋OC1，∴B1C、OD、OC1是共面向量．
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