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第3章 多维随机变量及其分布
一、选择题
1．设随机变量（X，Y）服从二维正态分布N（0，0；1，4；－1/2），下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是（ ）[数三2020研]
A．5?X?Y? 55?X?Y? 53?X?Y? 33?X?Y? 3B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由二维正态的性质知X＋Y～N（μ，σ2），因 μ＝E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0
?2?D?X?Y??D?X??D?Y??2cov?X,Y??1??1?4?2g?XYgD?X?gD?Y??1?4?2g1g2?3 ???g?2?故X?Y?03??X?Y?~N?0,1?。
33?3?X?Y??,X?服从二维正态分布，而 又???3?? 1 / 15
www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ?3?X?Y??3cov?,X??cov?X,X??cov?X,Y?????33????3??D?X???XYgD?X?gD?Y???3?3??1???1????g1g2??0?3??2??故
3?X?Y?3?X?Y?与X不相关，由二维正态的性质知，与X独立。
33故应选C项。
2．随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为1/3。将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（ ）。[数一2016研]
A．－1/2 B．－1/3 C．1/3 D．1/2 【答案】A
【解析】由题可求出X，Y的联合分布概率如表2所示。
表2
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www.100xuexi.com Y X 0 1 2 Pj 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 0 1/9 2/9 1/9 4/9 1 2/9 2/9 0 4/9 2 1/9 0 0 1/9 Pi 4/9 4/9 1/9 1
所以，EX＝0×4/9＋1×4/9＋2×1/9＝2/3。同理EY＝2/3，EX2＝8/9，EY2＝8/9，EXY＝2/9。Cov（X，Y）＝EXY－EXEY＝－2/9。DX＝EX2－（EX）2＝4/9，DY＝EY2－（EY）
2＝4/9。所以
?XY
Cov(X,Y)1???
2DXDY3．设随机变量X与Y相互独立，且X～N（1，2），Y～N（1，4），则D（XY）＝（ ）。[数三2016研]
A．6 B．8 C．14 D．15 【答案】C
【解析】根据题意，X、Y相互独立，则D（XY）＝E（XY）2－（EXY）2＝EX2EY2－（EXEY）2＝[DX＋（EX）2][DY＋（EY）2]－（EXEY）2＝14。
4．将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）。[数一2012研]
A．1
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www.100xuexi.com B．1/2 C．－1/2 D．－1 【答案】D
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 【解析】假设木棒两段长度分别为x，y，有x＋y＝1即y＝1－x，故x，y是线性关系，且相关系数为－1。
5．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{X＜Y}＝（ ）。[数一2012研]
A．1/5 B．1/3 C．2/5 D．4/5 【答案】A
【解析】已知X～E（1），Y～E（4）。故概率密度
?e?xf(x)???0?4e?4yx?0，f(y)??其他?0?4e?x?4yf(x,y)???0y?0其他
从而（X，Y）联合概率密度为则
x?0，y?0
其他 4 / 15
www.100xuexi.com P{X?Y}?X?Y 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ??f(x,y)dxdy?4?dy?e?x?4ydx00???4y??y ?4?[e0?(?e)|]dy?4?(?e?5y?e?4y)dy0?xy0??11 ?4??205
6．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则P{X2＋Y2≤1}＝（ ）。[数三2012研]
A．1/4 B．1/2 C．π/8 D．π/4 【答案】D
【解析】由题意知X～U（0，1），Y～U（0，1）且相互独立，则
?1x?(0,1)?1y?(0,1)fx(x)??,fY(y)??其他其他?0?0?1x?(0,1),y?(0,1)f(x,y)??其他?022P{X?Y?1}?由图1，得
X?Y?12??dxdy??4。
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