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?m1gl1cos?1?2m3gl1cos?1?m2g?2l1cos?1?l2cos?2? （2）列出Lagrange方程
由于在广义坐标?1,?2上均无外力作用，故列写Lagrange方程得到
将式代入式和得到
上述方程为倒立摆的动力学方程，求解微分方程可以得到倒立摆状态量
的表达式，然后可以建立倒立摆的数学模型。
4.倒立摆运动方程的线性化处理
针对已建立的拉格朗日方程，求解方程可以得到倒立摆状态量
的表达式。由于
是关于系统的状态变量和输入控制量u的方程，小车
&施加的加速度信号作为控制量，有u?&；因此设方程的解为： x
对倒立摆模型进行线性化处理，这里采用在平衡点附近将函数进行泰勒级数展开。上面的方程为七元函数，因此采用对多元函数展开的方法展开，这里对二元函数的泰勒级数展开方法进行介绍。
二元函数的形式为y?f(x1,x2)，在其平衡点(x10,x20,y0)附近进行泰勒级数展开。在平衡点附近，由于偏差?x1?x1?x10及?x2?x2?x20的绝对值很小，可以省略函数高次项得：
y?f(x1,x2)?f(x10,x20)?[(?f?f?x1?0,x2?0)(x1?x10)?(?x1?0,x2?0)(x2?x20)] ?x1?x2
将上式化简，得到一次线性方程：
?y?k1?x1?k2?x2 k1??f?f?x1?0,x2?0，k2??x1?0,x2?0 ?x1?x2这样，y与x1和x2之间的非线性关系，转化为?y与?x1和?x2之间的线性关系。当系统的平衡点处于原点时，即x10?x20?y?0，可以对方程化简为：
y?k1x1?k2x2
按照二元函数的泰勒级数展开方法对公式（）进行展开，由于直线二级倒立摆系统的平衡点为：
；因此线性化后得到