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椭圆知识点
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1?PF2?2a?F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若PF1?PF2?F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2； 若PF1?PF2?F1F2，则动点P的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质
x2y2y2x2 椭圆：2?2?1(a?b?0)与 2?2?1(a?b?0)的简单几何性质
abab
标准方程 x2y2??1 (a?b?0) a2b2y2x2??1 (a?b?0) a2b2图形 焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长 F1(?c,0)，F2(c,0) F1(0,?c)，F2(0,c) F1F2?2c x?a，y?b 关于x轴、y轴和原点对称 F1F2?2c x?b，y?a (?a,0)，(0,?b) (0,?a)，(?b,0) 长轴长=2a，短轴长=2b 长半轴长=a，短半轴长=b（注意看清题目） 离心率 e?c(0?e?1) aA1F1?A2F2?a?c；A1F2?A2F1?a?c；a?c?PF1?a?c； (p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）
1
注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等
知识点三：椭圆相关计算
1．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义
a2?b2?c2
b22.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2a
焦点弦：椭圆过焦点的弦。
3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，?F1PF2为最大角。
4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 焦点三角形的面积
5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上． (2)设方程：
2
S?PF1F2?b2tan?2，其中???F1PF2（注意公式的推导）
x2y2x2y2 ①依据上述判断设方程为2?2=1(a?b?0)或2?2=1(a?b?0)
abba②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
(3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系:
x2y2x2y2x2y2?2<1,点在椭圆内；2?2=1，点在椭圆上；2?2>1, 点在椭圆外。 2ababab7.直线与椭圆的位置关系
设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：（注意推导和理解）
若直线l:y?kx?b与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)则弦长
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2 ?1?k2x1?x2
?1?k2(x1?x2)2?4x1x2= 9.点差法：
就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 系式：
②把
， ，
．.
分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进
，
，其中点坐标为
，则得到关
行因式分解．其结果为m(x1?x2)(x1?x2)?n(y1?y2)(y1?y2)?0
3
③利用
求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .
中点弦的重要结论（不要死记会推导）
?x?acos?10．参数方程? （?为参数）?几何意义：离心角
y?bsin??
11、椭圆切线的求法
x2y2xxyy1）切点（x0y0）已知时，2?2?1(a?b?0) 切线02?02?1
ababy2x2yyxx 2?2?1(a?b?0) 切线02?02?1
ababx2y22）切线斜率k已知时， 2?2?1(a?b?0) 切线y?kx?a2k2?b2
aby2x2 2?2?1(a?b?0) 切线y?kx?b2k2?a2
ab
12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离
x2y2 2?2?1(a?b?0) r?a?ex0（加减由长短决定）
aby2a2 2?2?1(a?b?0) r?a?ey0（加减由长短决定）
ab
13．离心率的求法
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方
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