loading
初中数学正方形竞赛
典型例题 例 1 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB=BC=4，M 为腰 BC 上一点，且△ADM 为等边三角形，则S△CDM∶S△ABM ???。
例 2 如图以 Rt△BCA 的斜边 BC 为一边在△BCA 的同侧做正方形 BCEF，
设正方形的中心为 O，连接 AO，如果 AB=4，AO=6 2 ，那么 AC 的长为（
）
A.12
B.16 C.4 3 D.8 2
例 3 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BD 与 CE 交于 F 点，求证﹕ AF⊥BE。
例 4 如图，正方形 ABCD 中，E 是 CD 边的中点，F 是 DA 的中点，连接 BE 与 CF 相交于 P，求证﹕AP=AB。
例 5 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，满足 EF=BE+DF，AE、AF 分别与对角线交于点 M、N。求证﹕（1）∠EAF=45°，（2）MN2=BM2+DN2。
例 6 如图，以□ABCD 各边向外作正方形，求证﹕所得 4 个正方形的中心恰是某个正方形的顶点。
例 7 如图，四边形 ABCD 为正方形，以 AB 为边向形外作等边三角形 ABE，CE 与 DB 相交于点 F，则 ∠AFD= 度。
培优练习
1 如图，在正方形 ABCD 中，点 P，P1 为正方形内两点，且 PB=PD，P1 B=AB
∠CBP=∠ P1 BP，则∠B P1 P=
。
2 如图，正方形 ABCD、正方形 CGEF 的边长分别是 2,3，且点 B、C、G 在同一条直线上，M 是 AE 的中点，连接 MF，则 MF 的长为 。
3 如图，将边长为 12cm 的正方形 ABCD 折叠，使得 A 点落在边 CD 上的 E 点，然后压平得折痕 FG， 若 FG 的长为 13cm，则线段 CE 的长为 。
4 如图，把一边长超过 10 的正方形纸片剪成 5 个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为 。
5 如图，设以正方形 ABCD 的四条边为边，分别向外作正三角形△ABK，△BCL △CDM，△DAN，连接 AM，BN，CK，DL，则（1）∠ANB= ；（2）若正方形 ABCD 的边长为 a，则图中阴影部分的面积为 。
6 如图,四边形 ABCD 是正方形直线l1 、l2 、l3 分别通过 A、B、C 三点，且l1 ∥ l2 ∥ l3 ，若l1 与l2 的距离为 5， l2 与l3 的距离为 7，则正方形 ABCD 的面积等于（
A. 70
B. 74
C.144
D. 148
）
7 如图，一个周长为 20 的正方形内接于一个周长为 28 的正方形，在内的正方形的一个顶点与在外的正方形的一个顶点的最大距离是（ ）
A. 58
B.
7 5
2
C. 8 D. 65 E. 5 3
8 如图，ABCD 是正方形，BF∥AC，AEFC 是菱形，则∠ACF 与∠F 度数的比是（ ） A.3 B.4 C.5
D.不是整数 9 如图，正方形 ABCD 的面积为 64，△BCE 为等边三角形，F 是 CE 的中点，AE、BF 交于点 G，连接CG，则 CG 等于（ ） A. 4 2 B. 6 C. 3 2 D. 4
10 如图，P 为正方形 ABCD 内一点，若 PA﹕PB﹕PC=1﹕2﹕3，则∠APB 的度数为（ ） A.120° B.135° C.150°
D.以上都不对 11 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，点 F 在 BC 上，∠EAF=∠DAE，则下列结论中正确的是 （ ） A. ∠EAF=∠FAB
1 B. FC= BC
3 C. AF=AE+FC D.AF=BC+FC 12 如图，在正方形 MNBC 内有一点 A，以 AB、AC 为边向△ABC 形外作正方形 ABRT 和正方形 ACPQ， 连接 RM，BP，求证﹕BP∥RM。
13（1）如图①,已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CG＞BC），B、C、G 在同一直线上，M 为线段 AE 的中点 M，探究线段 MD、MF 的关系。
（2）如图②若将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45°，使得正方形 CGEF 对角线在正方形ABCD 的边 BC 的延长线上，M 为 AE 的中点。
试问:（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明。若不成立请说明理由。
14 如图，正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF、GH 分割成 4 个小矩形P 是 EF 与 GH 的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，是确定∠HAF 的大小，并证明你的结论。
15 如图①，正方形 ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 17、10、13，图②中的 DPQK 为矩形，对照图 ②求图①中 ABCIGH 的面积
16 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，以 AD、BC 为边分别向外作正方形 ADEF 与正方形 BCGH，I 为线段 EG 的中点，连接 ID、IC。求证﹕ID=IC。
17 如图，正方形 AEDB、ACFG 共顶点 A，点O1 、M、O2 、N 分别为
AD、BC、AF、EG 的中点。求证﹕ O1MO2 N 是正方形。
18 如图，在正方形 ABCD 中，P 是 CD 上一点，且 AP=BC+CP，Q 为 CD 中点，求证：∠BAP=2∠QAD
ABCD 的对角线 AC，点 E 在 BF 上，且 AE=AC，CF∥AE 19 如图，BF 平行于正方形 则∠BCF 的度数为 。