loading．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
第一课时
分类加法计数原理 （）提出问题
问题：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有班，汽车有班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ （）发现新知
有
n种不同的方法. 那么完成这件事共有
N?m?n
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有
m种不同的方法，在第类方案中
种不同的方法. （）知识应用
例.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
大学 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
分析：由于这名同学在 , 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 , 两所大学中的一所．在 大学中有 种专业选择方法，在 大学中有 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有
（种）.
变式：若还有大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有m1种不同的方法，在第类方案中有m2种不同的方法，在第类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：
完成一件事情，有类办法，在第类办法中有m1种不同的方法，在第类办法中有m2种不同的方法……在第类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N?m1?m2?????mn
种不同的方法.
理解分类加法计数原理：
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
例.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点爬到顶点有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, ×条第二类, ×条
第三类, ×条
所以, 根据加法原理, 从顶点到顶点最近路线共有条
练习: ( ）一件工作可以用 种方法完成，有 人只会用第 种方法完成，另有 人只会用第 种方法完成，从中选出 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( ）从 村去 村的道路有 条，从 村去 村的道路有 条，从 村经 的路线有＿条．
第二课时
分步乘法计数原理 （）提出问题
问题：用前个大写英文字母和—九个阿拉伯数字，以编号，总共能编出多少个不同的号码？
用列举法可以列出所有可能的号码：
A1,A2,…，B1,B2,…的方式给教室里的座位
我们还可以这样来思考：由于前 个英文字母中的任意一个都能与 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 × 个不同的号码． （）发现新知
分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有
中有种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法. （）知识应用
例.设某班有男生名，女生名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 步选男生．第步选女生． 解：第 步，从 名男生中选出人，有种不同选择；
第 步，从 名女生中选出人，有 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有× 种不同的选法． 一般归纳： 完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有m1种不同的方法，做第步有m2种不同的方法……做第步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
nm种不同的方法，在第类方案
N?m?nN?m1?m2?????mn
种不同的方法. 理解分步乘法计数原理：
分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. ．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.
例 .如图,要给地图、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解:按地图、、、四个区域依次分四步完成,
第一步, 种, 第二步, 种, 第三步, 种, 第四步, 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有×××
第三课时
综合应用
例.书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放本不同的体育书. ①从书架上任取本书，有多少种不同的取法？ ②从书架的第、、层各取本书，有多少种不同的取法？
③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】
①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.
②要完成的事是“从书架的第、、层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第、、层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.
③要完成的事是“取本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各本，再要考虑取本计算机书或取本文艺书都只完成了这
件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.
解： () 从书架上任取本书，有类方法：第类方法是从第层取本计算机书，有 种方法；第 类方法是从第 层取本文艺书，有 种方法；第类方法是从第 层取 本体育书，有 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是
N?m1?m2?m3;
( ）从书架的第 , , 层各取 本书，可以分成个步骤完成：第 步从第 层取 本计算机书，有 种方法；第 步从第 层取本文艺书，有 种方法；第 步从第层取 本体育书，有 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
N?m1?m2?m3×× .
（）N?4?3?4?2?3?2?26。
例. 要从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：从 幅画中选出 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 步，从 幅画中选 幅挂在左边墙上，有 种选法；第 步，从剩下的 幅画中选 幅挂在右边墙上，有 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
× .
种挂法可以表示如下：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
例.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和 个不重复的阿拉伯数字，并且 个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 分析：按照新规定，牌照可以分为 类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分个步骤．
解：将汽车牌照分为 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分个步骤确
定一个牌照的字母和数字：
第步，从个字母中选个，放在首位，有种选法； 第步，从剩下的个字母中选 个，放在第位，有种选法； 第步，从剩下的个字母中选 个，放在第位，有种选法； 第步，从个数字中选个，放在第 位，有种选法； 第步，从剩下的 个数字中选个，放在第位，有种选法； 第步，从剩下的 个字母中选个，放在第位，有种选法．
根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 ××××× （个） . 同理，字母组合在右的牌照也有 个．所以，共能给 （个） .辆汽车上牌照．
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”― 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
练习
（a1?a2．乘积?a3)(b1?b2?b3)(c1?c2?c3?c4?c5)展开后共有多少项？
．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
．从 名同学中选出正、副组长各 名，有多少种不同的选法？
．某商场有 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
第四课时
例.给程序模块命名，需要用个字符，其中首字符要求用字母 ～ 或 ～ , 后两个要求用数字～．问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 步，选首字符；第步，选中间字符；第步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．
解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有 种选法． 再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有×× 个不同的名称，即最多可以给个程序命名．
例. 核糖核酸（）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．
总共有 种不同的碱基，分别用表示．在一个 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类 分子由 个碱基组成，那么能有多少种不同的 分子？
分析：用图. 一 来表示由个碱基组成的长链，这时我们共有个位置，每个位置都可以从 , , , 中任选一个来占据．