loading4.2 圆锥曲线的共同特征
自主整理
1.圆锥曲线的共同特征:圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离___________为定值e,当0
其中,e是___________,定点是圆锥曲线的___________,定直线是圆锥曲线的___________.
x2y22.椭圆和双曲线都有两条准线,椭圆2?2=1(a>b>0)的准线方程为
aby2x2x2y2___________,2?2=1(a>b>0)的准线方程为___________,双曲线2?2=1(a>0,b>0)的
ababx2y2准线方程为___________,双曲线2?2=1(a>0,b>0)的准线方程为___________.
ab3.抛物线有___________焦点___________,准线___________.
高手笔记
1.理解圆锥曲线的共同特征,由于e的取值不同,导致圆锥曲线从形状上依次表示椭圆,双曲线和抛物线,应注意定义中的定点与定直线是对应的,如F为左焦点时,l为左准线,若F为右焦点,则l为右准线等.切记不可以左焦点F对应右准线l等情况发生.
x2y22.利用圆锥曲线的共同特征可以写出焦半径公式.如椭圆2?2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0),
abx2y2则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.再如双曲线方程2?2=1(a>0,b>0),若P(x0,y0)为双曲线右支上一
ab点时,|PF1|=a+ex0,|PF2|=ex0-a.对于双曲线中的焦半径的表达式中,点P在左,右两支上时,形式有
所不同,此问题无需死记,只要运用圆锥曲线的共同特征,便可迅速求出结果来. 名师解惑
如何求圆锥曲线的准线方程?
剖析:首先应确定圆锥曲线的标准方程,根据焦点所在坐标轴,对应的准线方程形式写出相应的准线方程来.准线方程取决于圆锥曲线在坐标系中的位置,但准线到椭圆,双曲线中心的距离不变,据此可写出准线方程.准线总是垂直于焦点所在的坐标轴.椭圆和双曲线的准线方程
ppa2a2形式有x=±或y=±,而抛物线的准线方程形式有x=±或y=±.若椭圆,双曲线和抛
22cc物线方程不是标准方程时,它的准线方程就不是上面的形式,应根据曲线在坐标系中的位置来
确定准线方程. 讲练互动
x2y2?【例1】已知定点A(-2,3),点F为椭圆=1的右焦点,点M在椭圆上运动,求1612|AM|+2|MF|的最小值,及此时点M的坐标.
解析:应用椭圆的几何性质及圆锥曲线的共同特征,把式子中|MF|用点M到相应准线的距离
表示出来,利用这种转化,问题便迎刃而解.
答案:因为a=4,b=23,所以c=a2?b2=2.所以e=为d,则
1.A点在椭圆内,设M到右准线的距离2|MF|1=e,即|MF|=ed=d,右准线l:x=8,所以|AM|+2|MF|=|AM|+d. d2因为A点在椭圆内,所以过A作AK⊥l(l为右准线)于K,交椭圆于点M0,
则A,M,K三点共线,即M与M0重合时,|AM|+d最小为AK,其值为8-(-2)=10. 故|AM|+2|MF|的最小值为10,此时M点坐标为(23,3). 绿色通道
作出草图帮助分析问题.许多数学问题中常出现具有某种特征的数值,若能抓住这些数值的规律及特殊含义,加以分析,联想,可迅速获得问题的解答策略,否则会造成过程繁杂或在问题解决中产生思维障碍. 变式训练
3x2y2?1.已知双曲线=1的右焦点为F,点A(9,2),M为双曲线上的动点,则|MA|+|MF|的最
5916小值为________________.
|MF|59,则=e(d为点M到右准线l的距离),右准线l的方程为x=,35d33显然当AM⊥l时,|AM|+d最小,而|AM|+|MF|=|MA|+de=|MA|+d,而|AM|+d的最小值是A
55936到l的距离为9-?.
5536答案:
5解析:双曲线的离心率e=
x2y2?【例2】在双曲线=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 169解析:用圆锥曲线的共同特征转化两个距离间的关系,即建立方程求解.
答案:设P点坐标为(x0,y0),F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,准线方程为x=±|PF1|=2|PF2|>|PF2|,故P在右支上. 所以
16.由于5|PF1|161648|PF2|=e=.因为|PF1|=2|PF2|,所以2(x0-)=x0+.所以x0=. 1616555x0?x0?55482)y25因为P在双曲线上,所以-0=1.
9163483所以y0=±119.所以P(,±119).
555(绿色通道
在圆锥曲线的焦半径问题中,常用圆锥曲线的共同特征去转化问题,可使解题过程简便快捷,也可以直接设点构造方程来求解.
变式训练
x2y22.已知双曲线2?2=1(a>0,b>0),F1,F2为双曲线的左,右焦点,点P在双曲线上运动时,求
ab|PF1||PF2|的最小值.
a2答案:设P点的横坐标为x0,则x0≥a.由圆锥曲线的共同特征,知|PF1|=|x0+
c2
2
a2|e=|a+ex0|,|PF2|=e|x0-|=|ex0-a|, ca222
所以|PF1||PF2|=|ex0-a||ex0+a|=|x0-a|.
c因为c2≥a2,x02≥a2,
a222
所以x0≥a.
ca222a222222
所以|PF1||PF2|=x0-a≥×a-a=c-a=b,
cc即|PF1||PF2|的最小值为b2.
【例3】点M(x,y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l:x=
253的距离的比是常数,求点M的轨35迹.
解析:由圆锥曲线的共同特征可知,M点的轨迹为椭圆,但方程是否为标准方程需分析讨论来确定.
答案:由题设及圆锥曲线的共同特征,知M点的轨迹是椭圆,且右焦点F(3,0),相应的右准线l:x=
25, 32516c3a2所以-c=-3=,且=.
33a5c?c3?,??a5由?2 ?a?c?16?3?c解得c=3,a=5.
因为c=3且F(3,0),所以椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,
x2y2故方程为2?2=1(a>b>0),
ab由a=5,c=3,得b=4,
x2y2?故所求点M的轨迹方程为=1. 2516绿色通道
题中没有明确椭圆的中心是否在原点,就不能知道方程是否为标准方程,因此也不能依定点(3,0)而直接得出c=3的结果.焦点坐标,准线方程与椭圆在坐标系中的位置有关,但是焦点到
a2相应准线的距离-c与椭圆在坐标系中的位置无关,此类问题也可用直接求轨迹方程的方
c法直接列出方程,再化简求得. 变式训练
3.已知双曲线的右准线为x=4,右焦点F(10,0),离心率e=2,求双曲线的方程. 答案:
(x?10)2?y2设双曲线上任意一点M(x,y),由圆锥曲线的共同特征,得=e=2,化简整理,得
|x?4|(x?2)2y2?所求双曲线的方程为=1. 1648教材链接
【思考交流】
曲线上的点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=
165的距离的比是常数,(1)求曲线54方程;(2)指出与例2的相同处和不同处,与同学交流.
答:(1)设d是点M到直线l的距离,根据题意,曲线上的点M满足
|MF|5=, d4(x?5)2?y25由此得=,
164|?x|522即有(x?5)?y=
516|-x|, 45x2y2?化简,得=1. 169(2)本题与例2除常数的值不同外,其余的题设条件相同.由于例2中e=程是椭圆的方程,本题中e=
1∈(0,1),故得到的方25>1,故得到的方程是双曲线的方程. 4