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B题 产品销量预测
摘要
产品销量预测问题是当前世界上所有企业最关心的问题之一。企业若想长期生存发展，就必须做销量预测。本文对产品的销量及其影响因素进行了讨论。
对于问题一，鉴于比例系数未知，给出比例系数为每一产品在单位时间内平均吸引
k个顾客，使其购买k个该产品这一假设，建立Malthus模型，预测出t0时刻的产品销量x(t0)。分析得Malthus模型所得结果只与实际销售量在初始阶段的增长情况比较符合，不宜用于销售量的中、长期预测。
对于问题二，结合问题一并假设一个消费者仅购买一种该产品。此时问题可理解为在某时刻t时，产品销量的增长率既与到时刻t为止的已经购买该种产品消费者数目x(t)成正比，也与尚未购买该产品的潜在消费者数目N?x(t)成正比。建立Logistic模型，预测出t0时的产品销量x(t0)。分析得，产品销售情形与此模型非常相似，特别在销售后期更加吻合。
对于问题三，根据产品生命周期理论，结合龚柏兹曲线，运用三段对数和法，建立模型，预测出市场容量N。
对于问题四，考虑到影响产品销量的因素有广告、企业竞争、产品竞争、消费者的购买能力、国家的经济水平等。结合本文，选取广告、企业竞争、产品竞争三个因素分别建立独家销售的广告模型、竞争销售的广告模型、同类产品的竞争模型来预测t0时的产品销量x(t0)。
关键词：Malthus模型 Logistic模型 龚柏兹曲线 广告模型 竞争模型 市场容量
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一、问题背景
据国外相关统计显示，销量预测与企业其他运行指标的关系是1:5，也就是销量预测提高1%，库存可以降低5%，生产和采购成本可以节约5%，客户准时交付率可以提高5%，资金使用效率提高5%这就是销量预测在企业管理中所起到的杠杆效应。认识产品销量的变化规律，作出准确的预测是销量预测的主要任务。故研究销量预测问题具有非常重要的现实意义。
二、问题重述
一种新产品上市后，经销商自然十分关心它的销售情况，尤其是销售一段时间后，经销商往往需要根据前段时间的销售情况，预测该产品在本地区的总销售量，从而恰当的组织货源，提高销售服务质量。
设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为x(t),由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻的产品销量x(t)与t有关且x(t)连续可微。。
问题一，在产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品，即每个产品在单位时间内平
dx均可以吸引k个顾客使其购买k个该产品, 并且在t时刻产品销量的增长率与x(t)成
dt正比的条件下，建立模型，预测t0时的产品销量x(t0)。
问题二，设产品销售存在一定的市场容量N, 即销量的上限。产品销量的增长率
dxdt与该产品的潜在容量N?x(t)成正比, 一个消费者只购买一件该商品，并且经营者可通过其他方式推销产品，建立模型，对t0时的产品销量x(t0)做出预测。
问题三，现要对问题二的产品销量做出精准预测，建立模型对市场容量N进行预测。 问题四，试考虑影响产品销量的其他因素，如广告、竞争者、同类产品等，建立相应的模型，预测t0时的产品销量x(t0)。
三、问题分析
3.1 对问题一的分析
由题意知，每个产品性能良好，且每个产品都是一个宣传品，这可以理解为售出的每一产品在单位时间内平均可以吸引k个顾客，使其够买k个产品,结合问题一所给条件发现x(t)满足的微分方程即为熟知的马尔萨斯（Malthus）模型。
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3.2 对问题二的分析
对问题二分析发现，市场容量N可以理解为需求量的上限。如果我们假设一个消费者仅购买一件该产品，这是问题二可以解释为：在某时刻t时，产品销量的增长既与到时刻t为止的已经购买该种产品消费者数目x(t)成正比，也与尚未购买该产品的潜在消费者数目（即潜在市场容量）N?x(t)成正比。因此，可以建立数学模型进行求解。 3.3 对问题三的分析
通过对问题二分析发现，市场容量N在产品的销量预测中占有极其重要的地位。如果预测出来了产品的市场容量，问题二才算得到了真正的解决。通过产品的生命周期理论，绘出龚柏慈曲线，运用三段对数总和法即可预测市场容量N。 3.4 对问题四的分析
在考虑影响产品销量的其他因素时，想到影响产品销量的因素有广告、企业竞争、产品竞争、消费者的购买能力、国家的经济水平等因素，结合问题一、问题二，选取广告、企业竞争、产品竞争三因素作为对问题四的解答。 3.4.1 广告对产品销量影响的分析
在当今这个社会中，广告在产品销售中起着极其重要的作用。由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中大受经营者的青睐。考虑到商品销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于极限值M，设A?t?为t时刻的广告水平，结合题意，就可以建立广告与销售速度的数学模型。 3.4.2 企业竞争对产品销量影响的分析
产品销量都有一定的市场容量，如果有其他企业介于同一产品竞争，那么这对问题中所设公司的产品销量将造成影响，鉴于每一公司增加它的销售量与其可获得的市场可以认为是成正比关系的，基于此可建立企业竞争对产品销量作用的数学模型。 3.4.3 同类产品对产品销量影响的分析
当今社会，企业之间竞争非常激烈，如果一个产品销量好，那么马上将会有同类型的产品涌出。在市场容量可以认为不变的情况下，这对问题中的产品销量将造成巨大的冲击。通过对问题分析发现，该问题类似于生物中的种群竞争问题，基于此可以建立同类产品对产品销量影响的数学模型。
四、模型假设
4.1 对问题一的模型假设
dx与x(t)成正比； dt2、设产品以自然推销的方式卖出，每一个产品在单位时间内平均吸引k个顾客。 4.2 对问题二的模型假设
1、设产品销售存在一定的市场容量N即需求量的上界；
2、设一个消费者仅购买一件该种产品；
1、设t时刻产品销量的增长
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3、设经营者可以通过自然销售方式和其他方式推销产品。 4.3 对市场容量的模型假设
1、设产品销售过程中没有较大的市场结构改变；
2、设产品在销售过程中，国家的经济水平没有较大的变动。
注：问题四的有关模型假设将在模型的建立与求解中直接给出，在此不再赘述。
五、符号定义与说明
符号 定义与说明 t时刻的产品销量 t时刻产品销量的增长率
x?t?
dx dtk N
每个产品在单位时间内吸引的顾客数 市场容量
t时刻产品的销售速度 i公司的销售量 可获得的市场 t时刻的广告水平
i公司的每个产品单位时间内吸引的顾客数s?t? si?t? M?t? A?t?
ri
六、模型建立与求解
6.1对问题一条件下t0时的产品销量x(t0)的预测
一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况。销量预测是在对市场进行充分调查的基础上，通过对有关因素的分析研究，预计和测算特定产品在未来一定时期内的市场销售水平及变化趋势，进而预测该项产品在计划期间的销量的过程。
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现有某种新产品要推向市场, 设t时刻的销量为x(t),由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品,所以问题一可以理解为产品是以自然推销的方式卖出，被卖出的产品起着实物性广告宣传作用，设售出的每一个产品在单位时间内可吸引k个顾客，使其购买k个该产品。
6.1.1 问题一模型的建立与求解
通过对问题一的分析，发现可以用马尔萨斯（Malthus）模型来解决问题一，先给出此题的模型如下：
x?t?满足微分方程
dx?kx dt （6.1.1—1）
设初始条件为
xt?0?x0 （6.1.1—2）
则易得上述微分方程的解为
x?t??x0ekt
（6.1.1—3）
6.1.2 问题一的结果分析与模型评价
通过对马尔萨斯模型的了解，针对此模型对式（6.1.1—3）进行以下结果分析和模型评价。
（1）Malthus模型所得（6.1.1—3）式结果与真实销售量在初始阶段的增长情况比较相符。这是因为，在后期，如果给的时间t过大，x?t?将是一个非常大的数，用这一模型进行预测的结果远高于实际产品的销量，这正是此模型的不足之处。
（2）在产品卖出之初，t?0时显然x?0，这时由（6.1.1—2）式易得 x?t??0，这一结果自然与事实不相符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，然而，在最初产品还未卖出之时，按照自然推销的方式，便不可能进行任何推销，因为在最初产品还未卖出之时，在消费者中还没有作为实物性广告的产品，从而无法吸引消费者购买，为此，需要这样来解决上述矛盾：将第一个看作单位时间内是以非自然推销方式进行销售，而将第一个单位时间之后看作以自然推销方式进行销售。因此，将t?1时刻的销售情况作为初始条件，即
k(t?1)x(t)?xe0 （6.1.1—5）
x|t?1?x0?0 （6.1.1—4）
微分方程初值问题式（6.1.1—1）、（6.1.1—3）的解为
则t?t0时刻的产品销量为
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x(t0)?x0kek(t0?1)
（6.1.1—6）
（3）令t???，从（6.1.1—3）式易得到x?t????，若针对某种耐用产品来讲，这显然与事实不符。事实上x?t?往往是有上界的。
从上面的分析可见，马尔萨斯模型不宜用于销量的中、长期预测。
6.2 对问题二条件下t0时的产品销量x(t0)的预测
产品销售往往存在一定的市场容量N，可理解为需求量的上界为N，对问题二理解为经营者可以通过其他方式推销产品，且一个消费者仅购买一件该种产品。这样就有在某时刻t时，产品销量的增长既与到时刻t为止的已经购买该种产品消费者数目x?t? 成正比，也与尚未购买该种产品的消费者数目N?x?t?成正比，这样就可以理解品的潜在容量N?x(t)成正比。
6.2.1 问题二模型的建立与求解
通过对问题二的分析，首先可以得到
dx与产dtdx?x?N?x? dt （6.2.1—1）
仍设比例系数仍记为k，则如下模型：
x?t?满足微分方程
dx?kx?N?x? dt （6.2.1—2）
再加上初始条件
xt?0?x0 （6.2.1—3）
利用分离变量方法易求得上述微分方程的解
x?t??Nx0x0??N?x0?e?kNt （6.2.1—4）
6.2.2 问题二的结果分析与模型评价
（1）问题二所用模型即为逻辑斯蒂（Logistic)模型。当t=0时若x0?0，则易从
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（3---22）式得到x?t??0。另外，在（6.2.1—4)式中令t???，易得到x?t??N（见图6.2-2）。这样，从根本上解决了问题一的不足。
dx（2）由（6.2.1—2）式易看出，?0 ，即 x?t? 是关于时刻t的单调增加函数，
dt实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，对（6.2.1—2）式两端求导，得：
d2xdx?k(N?2x)2dt （6.2.1—5） dtd2xN故令2?0，得到x?t0??。如图6.2—1，当t?t0 时，由
dt2dx?0xt?x?t0?dt ， ?? （6.2.1—6）
d2xdxdxdx得2?0，即单调增加，x?t?函数图象为上凹弧；同理， ?0 时，单调减dtdtdtdt少，x?t?函数图象为上凸弧。这说明，在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的；销售量达到最大需求量的一半时，该产品正处于最畅销时刻，此后销售速度开始下降，可用下图表示
（3）如果t?0,x0?0,可用初始条件
x|t?1?x0?0 （6.2.1—7）
此时可得解
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x(t)? 则t?t0时刻的产品销量为
Nx0x0?(N?x0)e?kN(t?1) （6.2.1—8）
x(t0)?
Nx0x0?(N?x0)e?kN(t0?1) （6.2.1—8）
6.3 对市场容量N的预测
产品是有规律性的发展过程，企业要扩大销量，必须要及时掌握产品所处市场的不同阶段的市场需求。市场产品运动的发展变化轨迹可以用一条曲线来表示，分别代表了新产品研制成功后，从市场投入开始，发展到成长、成熟以至衰退被淘汰为止的整个销售过程的全部时间。通过对问题二的分析求解发现，逻辑斯蒂模型还有一个问题，就是产品的市场容量未知，这是很难确定的。下面通过产品的生命周期理论，来给出市场容量的预测模型—龚柏慈曲线。
6.3.1 龚柏慈曲线
产品生命周期曲线呈一条对称的S形曲线，如图6.3-1所示：
图6.3-1
这是美国统计学家和数学家龚柏慈提出的作为控制人口增长的一种模型，结合本题，可以利用它来描述产品生命周期预测，其最大值K就是所求的市场容量。其预测模型为：
yt?Ka （6.3.1—1）
bt 对yt求一、二阶导数，有
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yt?Kab?btlnalnb （6.3.1—2） yt?Kab''''bttlna(lnb)2(lna?1)'t （6.3.1—3）
ln[?(lna)?1]K 并令yt=0，可求得曲线拐点P的位置为 (， )，
lnbe0
为了确定模型中的参数，通常把该预测模型改写为对数形式
logyt?logK?(loga)bt （6.3.1—4） 若令 yt?logyt ，K?logK，a?loga，则上式变为
yt?K?abt （6.3.1—5）
此式为一修正指数曲线预测模型，仿此模型求常数的方法，如用三段对数总和法：设r为原始数据观察值n的1/3，若n不能被3整除，则去掉远期的首项和第二项数据即可。
、
、
分别为观察值总数据三等分后的各部份对数值
tt之和。可得b，loga，logK的计算公式：
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b?r?logy??logy?logy??logy3t22t1t （6.3.1—6）
t loga?(?2logyt??1logyt)1? logK???1logytr?b?1?b2?1?2 （6.3.1—7）
??br?1???loga? （6.3.1—8） ??b?1??对于loga、logK求反对数可得a、K之值。
6.3.2 市场容量的预测与评价
如果在产品的销售过程中，在销售前期记录产品销售量与时间的关系，就可以通过上述模型将市场容量N预测出来。预测出来了市场容量，问题二才算真正得到了解决。事实上，市场容量的预测还受其他因素的影响，如消费者的购买能力，社会的发展，所以市场容量理论上是随时间在增长的，而不是一成不变的。但是此模型还是较好地反应了产品的整个生命周期曲线和市场容量，这对企业在今后的生存与发展是非常重要的。
6.4 竞争者、广告等因素对产品销量的预测
当今这个信息社会中，广告在商品销售中起着极其重要的作用。当生产者生产出一批产品后，下一步便会去思考如何更快更多地卖出产品。由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中大受经营者的青睐。当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心：广告与产品销售到底有何关系；同时企业生产的产品难免要受到其他同行业的竞争，在市场容量一定程度上恒定的情况下，这对企业产品的销量造成很大的影响，所以下面本文先从产品独家销售和竞争销售两方面对广告、竞争这两个重要因素进行探讨。
6.4.1独家销售的广告模型
首先，做如下假设：
（1）商品的销售速度会因做广告而增加，担当商品在市场上趋于饱和的时，销售速度将趋于极限值，这时，销售速度将开始下降；
（2）自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随商品的销售率的增加而减少；
（3）设S?t?为t时刻商品的销售速度，N表示销售速度的上限；??0为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度；A?t?为t时刻的广告水平（以费用表示）。
根据上面的假设，我们建立模型
?s?t??ds?P?A?t???1????S?t?dtM?? （ 6.4.1-1 ）
其中P为响应系数，即A?t?对S?t?的影响力，P为常数。
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由假设（1），当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略
?A0?t??A?t???t?? （ 6.4.1-2 ） ?0
其中A为常数。
在[0，?]时间内，设用于广告的花费为a，则A?a?，代入（ 6.4.1-1 ）式，有
ds?Pa?a??????S?P?M??? （ 6.4.1-3） dt?令
则有
ds?bs?c dt （6.4.1-5）
b???PaPa?c?M? ， ? （ 6.4.1-4）
解（6.4.1-5）式，得
s?t??ke?bt?cb （6.4.1-6）
其中k为任意常数，给定初始值S?0??S0,则（6.4.1-6）式成为
s?t??c1?e?bt??s0e?bt?b （6.4.1-7）
当t??时，由于A?t?的表达式，则（ 6.4.1-1 ）式变为
ds???s dt （6.4.1-8）
其解为
s?t??ke????t? （6.4.1-9）
k仍为任意常数。为保证销售速度S?t?不间断，我们在（6.4.1-7）式中取t??而得到S???将其作为（6.4.1-7）式的初始值，故（6.4.1-9）式解为
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s?t??s???e????t? （6.4.1-10）
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这样，联合（6.4.1-7）式与（6.4.1-10）式，我们得到
?c?bt?bt1?e?se??0?s?t???b?s???e????t??0?t??t??
其图形如图6.4-1
（6.4.1-11）
s?t?s??? s00
产品在t时刻的销售量模型
? 图6.4-1 t
x(t)??s(t)dt0t （6.4.1-12）
由于产品的销售速度是随时间的分段函数，由式（6.4.1-11），（6.4.1-12）可得产品在t时刻的销售量模型为
?c?bs?btcc?bse?t?20?t??2??bbbx(t)???c?bss(?)e(t?t)cc?bss(?)?bt?e??t?2?2??bb??b
??t （6.4.1-13）
则t?t0时刻，产品的的销售量为
c?bs?c?bs?bt0ce?t?0?bb2?b2x?t0?????c?bse?bt0?s???e???t0??ct?c?bs?s???0??bb2??b2文档大全
0?t0??t0?? （6.4.1-13）
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6.4.2 竞争销售的广告模型 为使模型简单化，做如下假设：
（1）两家公司销售同一商品，而市场容量N?t?有限；
（2）每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为Ci,i?1,2； （3）设M(t)?N(t)?S1?t??S2?t?，Si?t?是销售量，i=1,2，M(t)是可获得的市场，显然，
M(t)?N(t)?S1?t??S2?t? （6.4.2-1）
由假设（2），有
?dS1?C1N??dt ? （6.4.2-2）
dS?2?CN2??dt
将上述二式相除，易得
dS2dS?C31dt （6.4.2-3） dt
其中C3?C2为常数。对（6.4.2-3）式积分，得 C1
S2?t??C3S1?t??C4 （6.4.2-4）
C4为积分常数。假设市场容量N(t)??(1?e??t)，?和?为常量，则
M(t)??(1?e??t)?(1?C3)S1(t)?C4 （6.4.2-5） 再将上式代入（6.4.2-2）式，得
dS1??AS1?Be??t?C dt （6.4.2-6）
其中
解方程（6.4.2-6），易得
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A?C1?1?C3?，
B??C1?，
C?C1???C4? （6.4.2-7）
S1?t??k1e?At?k2e??t?k3 （6.4.2-8）
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代入（6.4.2-4）式，易得
s2(t)?m1e?At?m2e??t?m3 （6.4.2-9）
其中ki及mi（i=1,2,3,）皆为常数。
设s1?t?表示问题中所提到的新产品，则可得t?t0，产品的销售量为
s1(t0)?k1e?At0?k2e??t0?k3 （6.4.2-10）
6.4.3 结果分析与模型评价
1、独家销售的广告模型中，我们不考虑其他因素的影响，给的是在一定条件一种理想状态下的模型，条件苛刻，实际少见，但模型解决了企业做广告与产品销量的问题，在实际生活中，合理修正上述模型，模型即可得到应用。
2、竞争销售的广告模型中，同样，给的是仅限于两家公司的竞争，且作出了一定的假设，使问题变得简单化，较好地解决了同行竞争与企业的产品销量的问题，给企业在制定销量计划是给予帮助，同时，给出了产品销量与时间的关系，在现实中也有很大用处。
6.5 同类产品竞争对产品销量的影响
同类产品在市场中为了争夺市场份额必定存在产品竞争问题，由于产品竞争，必然会对产品的销量造成影响，现建立以下模型对此类竞争问题进行讨论。
为使此类问题简单化，现假设只有有甲乙两个公司销售同类的产品，分别用x1?t?，
x2?t?表示他们在t时刻的销量。设两个公司单独销售这种产品时，随时间的推移产品销量遵从Logistic规律。记r1,r2是他们的比例系数，N1,N2是他们的最大市场容量。于是对于甲公司，当它独自销售时应有
?dx1x??r1x1?1?1? （6.5-1） dt?N1??x?其中，因子?1?1?反映了由于甲公司销售量的增加导致的对它产品本身销量的阻滞作
?N1?用，
x1可解释为相对与N1而言单位时间内甲公司吸引的顾客数所占的比例。 N1 当市场中存在两个公司同时销售同一类产品时，由于乙公司占有的市场对甲公司的销量增长产生了影响，因此，较为合理的是在因子中再减去一项，该项与公司乙的销量
x2(相对于N2而言)成正比，设x?t?表示甲公司中该产品的销量增长率，于是得到公司
甲的产品销量的方程为
x?t??文档大全
?dx1xx??r1x1?1?1??12? （6.5-2） dtN2??N1实用标准
这里?1的意义是：乙公司单位数量（相对于N2而言）的销量获得的甲公司的顾客数为甲公司单位数量（相对于N1而言）的销量获得的甲公司的顾客数的?1倍。类似的，甲公司的存在也影响到了乙公司的销量，设y?t?表示乙公司中该产品销量的增长率，同理，乙公司的产品销量的方程可以表示为
y?t???dx2xx??r2x2?1??21?2? （6.5-3） dtN1N2??
对?2可作相应的解释。于是我们建立了一个简单的同类产品相互竞争的模型
??dx1x1x2??r1x1?1???1?x?t???dtNN2???1 ? （6.5-4）
?yt?dx2?rx?1??x1?x2??22?2???dtNN?12??
该微分方程无解，下面matlab程序绘图来说明两种产品竞争的结局，首先对它的平衡点进行稳定性分析。
先求式（6.5-4）的平衡点，解代数方程组
??x1x2?fx,x?rx1????????01211?1NN??12? ? （6.5-5）
?gx,x?rx?1??x1?x2??0?2??12?22?NN?12??
得到4个平衡点：
?N1?1??1?N2?1??2??P,,,PN,0P0,N?2?2?3??,P1?14?0,0?
1??1?2??1??1?2因为x1，x2?0，所以对于P3而言要求?1，?2同时小于1或同时大于1，这样才有实际意义。
按照判别非线性系统平衡点稳定性的方法，将式 （6.5-5）“线性化”以后的系数矩阵为
??2x1?1x2??r1?1x2???r1?1???N1N2?N2?fx1fx2?????? A?? （6.5-6） ???gxgx???2x12x2??r2?2x2?12???r???2?1??NNN1?12???文档大全
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p??(fx1?gx2)|pi ?i?1,2,3,4?，q?|A|pi ?i?1,2,3,4?
将4个平衡点p，q的结果及稳定条件列入表6.5-1中
平衡点
表6.5-1 产品竞争模型的平衡点及稳定性
p q r1?r2(1??2) r2?r1(1??1)
稳定条件
P1?N1,0? P2?0,N2?
?rr12?1??2? ?rr12?1??1? r1r2(1??1)?1??2?1??1?2
r1r2
?1?1,?2?1 ?1?1,?2?1
?N1(1??1)N2(1??2)?r1(1??1)?r2?1??2? P3?,?
1???1???1????1212?12?1?1,?2?1
P4?0,0?
?(r1?r2)
不稳定
注：稳定性条件为：p?0,q?0
下面用MATLAB编程（程序见附录），拟合出相应曲线。 为使问题简单化，令 r1?r2?1,N1?N2?100,x0?y0?10, 下面根据?1,?2的不同分以下四种情况来讨论。
1、?1??2，不妨令?1?0.5,?2?2得
根据MATLAB编程得到甲、乙两公司该产品销量在t时刻的增长率图象为
图 6.5-1 图6.5-2
根据图6.5-1得：当t充分大时，x(t)和y(t)的数量悬殊，最终是一方产品被市场淘汰，一方产品获取整个市场份额。如上述模型中，甲公司产品最终将获取整个市场份额，乙公司产品被淘汰。
2、?1?1,?2?1，不妨令?1?1.5,?2?0.7，得图6.5-2
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根据图6.5-2得：当t充分大时，双方销售量相差较大。甲公司产品被淘汰，乙公司产品获取整个市场份额
3、?1?1,?2?1，不妨令?1?0.8,?2?0.7，得图6.5-3
根据MATLAB编程得到甲、乙两公司该产品销量在t时刻的增长率的图象为：
图6.5-3 图6.5-4
根据图6.5-3得：当t充分大时，甲乙公司产品竞争激烈程度加剧，双方都占有一定的市场份额，任何一方都没有明显优势。
4、?1?1,?2?1，不妨令?1?1.5,?2?1.7，得图6.5-4
根据图6.5-4得：当t充分大时，竞争中有一方拥有绝对优势，控制了整个市场，而另一方则被市场淘汰。本例中甲公司具有绝对优势，乙公司被市场淘汰。
5、上图清晰地反映了产品销量的增长率随时间的变化关系，根据此图，可以通过求面积来预测出t?t0时刻的产品销量，在此不再给出具体求法。
七、模型的评价与推广
7.1 模型优点
1、Logistic模型与产品销售情形极其相似，尤其在销售后期更加吻合； 2、所有模型都是建立在合理的假设之上，模型非常完善； 3、本文所建立的广告模型比较新颖，与实际联系比较紧密；
4、用产品的生命周期理论对市场容量进行了预测，使logistic模型更加完美。 7.2 模型缺点
1、Malthus模型不宜用于销售量的中、长期预测；
2、同类产品的竞争模型中未能给出t?t0时刻的产品销量。 7.3 模型推广
本文建立的数学模型具有较强的“可移植性”，可以利用此模型较为准确地预测出企业在任一时间的产品销量及产品的市场容量，还可以推广到渔业中如何确定最佳捕鱼量的预测中。
八、模型改进
1、在产品即将卖出、尚未卖出之时刻为t?0，显然x0?0，这时由马尔萨斯模型x(t)?0，
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这一结果自然与事实不符，所以可将t?1时刻的销售总量看作初始条件。
2、实际生活中，企业产品销售量受到多种不确定因素（产品因素、营销因素、竞争因素、消费者心理因素和外部环境等）的影响，可建立模糊时间序列预测模型。其形式如下
SV(t)?p0?p1?t?p2?t2???pk?tk?? (1)
~~~其中SV(t)?R, k?N，pi?R,i?1,2,?,k；R是模糊数集合，?是随机误差项，且其期望值E??0。
九、参考文献
[1]彭放，杨瑞琰，数学建模方法，科学出版社，2007年
[2]白凤山，数学建模上册，哈尔滨工业大学出版社，2003年4月 [3]沈继红，数学建模，哈尔滨工程大学出版社，2003年5月 [4]戴明强，数学建模及其应用，科学出版社，2007年2月
[5]姜启源，数学建模（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2003年
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十、附录
程序一：
编写如下M文件：
function xdot=jingzhong(t,x)
r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2;
xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x; 然后运行以下程序： ts=0:0.1:10; x0=[10,10];
[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0); [t,x]
plot(t,x),grid,
gtext('\\fontsize{12}x(t)'),gtext('\\fontsize{12}y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')
程序二：
编写如下M文件：
function xdot=jingzhong(t,x)
r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=1.5;s2=0.7;
xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x; 然后运行以下程序： ts=0:0.1:10; x0=[10,10];
[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0); [t,x]
plot(t,x),grid,
gtext('\\fontsize{12}x(t)'),gtext('\\fontsize{12}y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')
程序三：
编写如下M文件：
function xdot=jingzhong(t,x)
r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.8;s2=0.7;
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xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x; 然后运行以下程序： ts=0:0.1:10; x0=[10,10];
[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0); [t,x]
plot(t,x),grid,
gtext('\\fontsize{12}x(t)'),gtext('\\fontsize{12}y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')
程序四：
编写如下M文件：
function xdot=jingzhong(t,x)
r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=1.5;s2=1.7;
xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x; 然后运行以下程序： ts=0:0.1:10; x0=[10,10];
[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0); [t,x]
plot(t,x),grid,
gtext('\\fontsize{12}x(t)'),gtext('\\fontsize{12}y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')
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