loading第五章 四边形
微专题 正多边形的镶嵌问题
专题总结
正多边形的镶嵌问题只有2018年和2012年考查． 满
分
技
法
1. 同形镶嵌：形状、大小完全相同的任意三角形、任意四边形、正六边形都能单独进行镶嵌；2.异形镶嵌：可以互相进行镶嵌的正多边形有：3和4；3和6；4和8；3和12；5和10等．图形如下．
针
对
训
练
1. 如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则n等于( ) A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
第1题图
2. 在数学活动课中我们学习过平面镶嵌，若给出下面一些边长均为1的正三角形和正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙，围绕某一个顶点拼成一个平面图案，则可以共拼出________种不同的图案；其中所拼的图案中周长的最大值为________．
第2题图
3. 如图①所示的图案是用边长都为1的两个菱形与两个正三角形拼接而成的；图①所示的图案是用边长都为1的一个菱形和五个正三角形拼接而成的．现有边长为1的菱形14个与边长为1的正三角形30个全
部用来拼接图案①、①，则能拼接出两种图案一共________个．
第3题图
4. 用若干个全等的正六边形按照如图所示依次有一边重合摆放一圈，中间可以围成一个正多边形，我们称作正多边形的环状连接．若用正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为________；若用边长为1的正多边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为________．
第4题图
5. 有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接： 方式1：如图①； 方式2：如图①；
图① 图①
第5题图
若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是________；有n个边长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为________．
6. 如图①，有若干个边长为2的正方形和顶角为α°(0＜α＜90)，腰长为2的等腰三角形，将它们按照图①的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正n边形．若n＝5，则α＝________°；设所围成的正多边形的周长为C，请写出C与α之间的关系式________．
第6题图
参考答案
针对训练
1. C 【解析】正n边形的一个内角＝(360°－90°)÷2＝135°，则135°n＝(n－2)·180°，解得n＝8. 2. 2；10 【解析】∵正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，∴围绕某一个顶点拼成一个平面图案，则共拼出①2×120°＋2×60°，②120°＋4×60°两种不同的图案；其中所拼的图案中最大的周长为①：1×10＝10.
??2x＋y＝14，
3. 9 【解析】设可以拼出图①x个， 图②y个，能拼接出两种图案一共(x＋y)个，依题意得?
?2x＋5y＝30，???x＝5，
解得?∴能拼接出两种图形一共x＋y＝9个.
?y＝4.?
4. 4；27 【解析】环状连接满足：所用多边形的外角的2倍是中间围成正多边形的内角即可.如解图360°①，正八边形的外角为＝45°，所以围成正多边形的内角为90°，由于正方形的内角为90°，所以中间可
8以围成正多边形的边数为4；如解图②，由于等边三角形的内角是60°，所以正n边形的内角为150°，所以n为12，所以这个环状连接的外轮廓长27.
第4题解图
5. 18；7
720
6. 72；C＝ 【解析】由题图②知，中间围成的正多边形的每个内角为360°－90°×2－α°＝180°－α°，
α根据n边形内角和为：180°·(n－2)，可列方程(180°－α°)n ＝180°·(n－2)，当n＝5时，即(180°－α°)·5 ＝360
180°×(5－2)，解得α＝72；由(180°－α°)n ＝180°·(n－2)，整理得n＝，又∵中间能围成一个正n边形，
α720720
且边长为2，∴这个正n边形的周长C＝2n＝.即正多边形的周长C与α之间的函数关系式为C＝.
αα