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讲解一 例题1 你能很快算出432×5的结果吗？
思路导航：一个数与5相乘，因为10÷2=5，因而可以在这个数末尾添上一个0，然后再除以2，所得的结果就是这个数与5的积。所以，我们在432的末尾添上一个零，然后再除以2就可得出结果。 例题2 试着计算下列各题，你发现了什么规律？
1）18×11 （2）38×11 （3）432×11
思路导航：通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位与末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位起加起，和写在十位、百位??，哪一位上满十就向前一位进一。
（1）18×11，就把8写在个位上，8与1的和9写在十位上，1写在百位上，得18×11=198； （2）38×11，把8写在个位上，3与8的和为11，把1写在十位上，同时向百位进1，百位上3加1为4，得38×11=418；
（3）432×11，把2写在个位上，2与3的和5写在十位上，3与的和7写在百位上，千位上写4，得432×11=4752。
例题3 你能迅速算出下面各题吗？
（1）24×15 （2）248×15 （3）3456×15
思路导航：一个因数乘15，因为15=10＋5，那么24×15就可以写成24×（10＋5），也就是用24加上它的一半再乘10，24＋12=36，再用36×10=360；
248×15就用248加上124得到372，再乘10为3720；
3456×15就用3456加上1728得到5184，再乘10为51840。 一个因数乘15，也就是用这个数加上它的一半再乘10。 例题4 下面的乘法有规律吗？
（1）24×25 （2）21×25 （3）25×427 （4）25×1923
思路导航：因为25×4=100，因此一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，有几个4就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3加75。
（1）24中有6个4，所以积是6个100；
（2）21中有5个4余1，所以积是5个100加25； （3）427中有106个4余3，所以积是106个100加75； （4）1923中有480个4余3，所以积是480个100加75。 例题5 你能迅速算出下面的结果吗？
（1）15×9 （2）38×9 （3）72×99 （4）874×99
思路导航：（1）我们可以先用15×10=150，这样就多加了1个15，因此我们还要从150中减去1个15，即150－15=135；
（2）我们可以先用38×10=380，这样就多加了1个38，因此我们还要从380中减去1个38，即380－38=342；
（3）我们可以先用72×100=7200，这样就多加了1个72，因此我们还要从7200中减去1个72，即7200－72=7128；
（4）我们可以先用874×100=87400，这样就多加了1个874，因此要从87400中减去1个874，即87400－874=86526。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘10，再减这个数；一个数与99相乘，就用这个数乘100，再减这个数。
讲解二 数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2
末项=首项＋公差×（项数－1）
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项数=（末项－首项）÷公差＋1 例题1 你有好办法算一算吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（ ）
思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，??，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。
例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（ ）
思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有
一
个
数
多
出
来
，
那
怎
样
做
呢
？
我
们
可
以
这
样
想
：
9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。
例题3 计算：
（1）32＋34＋36＋38＋40＋42 （2）203＋207＋211＋215＋219
思路导航：（1）32、34、36、38、40、42共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，我们可以把它们分为3组，每组的和都是74，那么几个数的和就是3个74即74×3=222；
（2）203＋207＋211＋215＋219共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，我们也可以仿照例2的方法进行计算，用第一个数和最后一个数相加203＋219=422，乘上数的个数5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。
例题4 计算：
993＋994＋995＋996＋997＋998＋999
思路导航：这题求几个连续自然数的和，它们都接近于1000，我们可以看作7个1000相加，这样就多加了7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，就用7000－（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）=6072。
例题5 计算：
1000―81―19―82―18―83―17―84―16―85―15―86―14―87―13―88―12―89―11
思路导航：通过观察，我们可以发现每两个减数相加的和是100，我们可以把81和19，82和18，83和17，84和16，85和15，86和14，87和13，88和12，89和11这几组数先加起来，和为9个100即900，然后再从1000中减900得100。
讲解三 例题1 学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？
思路导航：根据题意画出线段图
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从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比这样的2倍还少5只，用24×2－5=43（只）可以求出足球的只数，再用43＋24=67只可以求出两种球的总只数。
例题2 人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有多少盆？
思路导航：从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）÷3=65（盆）就可求出月季花的盆数。
例题3 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？
思路导航：根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－1=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为25÷1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×2=50只。
例题4 用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本20页，可以少装订多少本？
思路导航：根据“如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×400=6400页；再用总页数6400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－320=80本则表示少装订的本数。 例题5 李师傅原计划6小时加工零件480个，实际2小时加工192个。照这样的效率，可以提前几小时完成？
思路导航：根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为192÷2=96（个/小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，求出实际完成的时间。6－5=1小时，则表示提前完成的时间。
讲解四
例题1 一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？
思路导航：由“这列火车早上5时出发，计划下午3时到达”可知，这列火车原计划行驶12＋3－5=10小时，用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小时，便可得到甲地到乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时，说明火车实际行驶了10＋2=12小时，用1200÷12=100千米就可得到火车实际每小时行的千米数。
例题2 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？
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思路导航：小宁和小红一共买了7＋5=12枝铅笔，三个人平均分，每人应得12÷3=4枝，所以小佳拿出的8角钱就相当于4枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2角。小佳应给小宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2×（5－4）=2角钱。
例题3 用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如果倒进去5杯牛奶，连瓶共重750克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
思路导航：根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克 （1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克 （2）
比较（1）、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－2=3瓶牛奶重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空瓶重量是450－100×2=250克。
例题4 一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？
思路导航：把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。
红色珠子：6×9=54粒； 黄色珠子：6×6=36粒；
绿色珠子：6×5=30粒。
例题5 在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？
思路导航：根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐里鸡蛋个数的总和”，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和，用取出的50×6=300个鸡蛋除以4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。
讲解五
爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答道：“27米。”小朋友，晶晶答得对吗？
这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵树三者之间的关系。解答植树问题要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数=总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数=总距离÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答，比如锯木头、爬楼梯问题等等，这里解题的关键是要将题目中的条件与问题与植树问题中的总距离、间隔长、棵数对应起来。
例题1 小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，第一棵和第九棵相距多少米？
思路导航：要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：
根据“已经植了9棵”，从图中我们可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9－1=8个，每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24米。
例题2 在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了22棵。已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
思路导航：根据“在路的两侧共栽22棵树”这个条件，我们可先求出一侧栽了22÷2=11棵树，那么从第1棵树到第11棵树之间的间隔是11－1=10个。40米长的大路平均分成10段，每段是40÷10=4
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