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2020年成人高考专升本高等数学二知识点复习
第一章：极限与连续
1-1、极限的运算 1、极限的概念
(1)设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果当??无限趋于??0时函数??(??)无限地趋于一个常数A，则称A为函数??(??)当??→??0时的极限，记作lim??(??)=A
??→??0
(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。
??→??0?
lim??(??)=A lim??(??)=A
??→??0+
2、无穷小量与无穷大量
无穷小量定义：对于函数??=??(??)，如果当??在某个变化过程中，函数??(??)的极限为0，则称在该变化过程中， ??(??)为无穷小量，记作lim??(??)=0
??→??0
无穷大量定义：对于函数??=??(??)，如果当??在某个变化过程中，函数??(??)的极限值越来越大，则称在该变化过程中， ??(??)为无穷大量，记作lim??(??)=∞
??→??0
3、无穷小量与无穷大量的关系
在同一变化过程中，如果??(??)为无穷大量，且??(??)≠0，则??(??)为无穷小量； 在同一变化过程中，如果??(??)为无穷小量，且??(??)≠0，则
4、无穷小量的性质
性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量 ★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量
5、无穷小量的比较与替换
定义：设α，??是同一变化过程中的无穷小量，即lim??=0，lim??=0
1??(??)1
为无穷大量；
（1）如果lim??=0，则称??是??比较高阶的无穷小量
??
1
??
（2）如果lim??=∞，则称??是??比较低阶的无穷小量
（3）如果lim=c≠0，则称??是与??同阶的无穷小量
??
??
（4）如果lim??=1，则称??与??是等价的无穷小量
??
★常见的等价无穷小量：
当??→0时，?? ~sin??~tan??~ ??????sin??~ ??????tan?? ~ ?????1 ~ ln (1+??) 1?cos??~??2
21
★★6、两个重要极限 （1）lim
sin????
??→0
=1
1
1
（2）lim(1+)??=?? 或lim(1+??)??=??
??→∞
??
??→0
★★7、求极限的方法 （1）直接代入法：分母不为零 （2）分子分母消去为0公因子 （3）分子分母同除以最高次幂
（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小） （5）利用两个重要极限求极限 （6）洛必达求导法则（见第二章）
1-2、函数的连续性
1、函数在某一点上的连续性
定义1：设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果有自变量???趋近于0时，相应的函数改变量???也趋近于0，即lim[??(??0+???)???(??0)]=0，则称函数??=??(??)在??0处连续。
???→0
定义2：设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果当 ??→??0时，函数??(??)的极限存在，且等于??0处的函数值??(??0)， lim??(??)=??(??0)，则称函数??=??(??)在??0处连续。
??→??0
1
1
第二章、一元函数微分学
2-1、导数与微分 1、导数概念
定义1：设函数??=??(??)在点??0的某个邻域内有定义，如果有自变量??在点??0处的改变量???，相应的函数改变量???=??(??0+???)???(??0)。如果极限lim为函数??=??(??)在??0处的导数。表示形式如下：
???→0
??(??0+???)???(??0)
???
???→0
存在，则称此极限
lim
??(??0+???)???(??0)
???
、lim
??(??)???(??0)?????0
??→??0
、lim
??(??0+?)???(??0)
h
?→0
★★2、常见的求导公式
（1）、(c)′=0 （2）、(x??)′=a?????1 （3）、(log????)′=???????? （4）、(??????)′=?? （5）、(a??)′=a???????? （6）、(????)′=e?? （7）、(sin??)′=cos?? （8）、(cos??)′=?sin??
★★3、导数的运算法则 （1）(u±v)′=u′+v′ （2）(u?v)′=u′v+uv′ （3）(cu)′=cu′ （4）()′=
??
★4、复合函数求导
如果函数??=??(??)在点??处可导，函数??=??(??)在对应点??处也可导，则复合函数??=??[??(??)]在点??处可导，且有
5、隐函数求导
隐函数：??与y之间的函数关系是由一个方程F(??,??)=0来确定这种称之为隐函数。如：?????????+??2=0
隐函数的求导方法：直接在方程F(??,??)=0的两端同时对??求导，而把??视为中间变量，利用
1
dydx
u
u′v+uv′
??2
1
1
=
dy????du????
? 。
复合函数求导即可。
6、高阶求导
如果函数??=??(??)的导数函数??′=??′(??)仍是函数??的可导函数，那么就称函数??′(??)的导数为函数??(??)的二阶导数，二阶导数记为函数??′′,??′′(??)
7、微分公式????=??′????
（1）d(c)=0 （2）d(x??)=a?????1???? （3）d(a??)=a???????????? （4）d(e??)=e?????? （5）d(log????)=
1????????
???? （6）d(??????)=dx
??
1
（7）d(sin??)=cos?????? （8）d(cos??)=?sin??????
★★2-2、洛必达法则 1、概念
如果当??→??（或∞）时，函数??(??)与??(??)都趋于0或都趋于∞，则称lim??(??)为未定型极限，??→??
??(??)
并分别简记为 0 或∞。lim??(??)=lim??′(??)
??→??
??→??
0∞??(??)
??′(??)
2、求法
（1）先判定是否符合 或型
0
∞0
∞
（2）分别对分子分母求导，如果求导完还是0 或∞型那么再对分子分母求导 （3）当出现分母不为0时，就可以直接代入求解。
★★2-3、导数的应用 1、函数的单调性、单调区间 设函数??=??(??)在区间(??,??)内可导，
（1）如果在区间(??,??)内??′(??)>0，则函数??=??(??)在区间(??,??)内是单调递增的 （2）如果在区间(??,??)内??′(??)<0，则函数??=??(??)在区间(??,??)内是单调递减的
2、函数的极值
1
0∞