loading五湖泛舟
解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x. ?π??2π?
?， 因为y＝f(x)的图象过点?，3?和?，－2
?12??3?ππ
?3＝msin＋ncos?66，所以?
4π4π
??－2＝msin3＋ncos3，13?3＝m＋?22n，?m＝3，即?解得?
n＝1.31?
?－2＝－m－n，?22
π??
(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?.
6??π??
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin?2x＋2φ＋?.
6??设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，
2
由题意知x0＋1＝1，
所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2). π??
将其代入y＝g(x)得sin?2φ＋?＝1，
6??π
因为0<φ<π，所以φ＝6， π??
因此g(x)＝2sin?2x＋?＝2cos 2x.
2??
π
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－2≤x≤kπ，k∈Z. π??
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ?，k∈Z.
2??
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π??
?1.(2017·昆明调研)函数f(x)＝3sin2x＋?的部分图象如图所
6??示.
五湖泛舟
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间??π
π??－2，－12??上最大值和最小值.
解 (1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3. 当y0＝3时，sin?
??2x＋π?06??＝1，
由题干图象可得2xππ
0＋6＝2π＋2， 解得x7π
0＝6. (2)因为x∈???－π
2，－π?12??，
所以2x＋π?5π?6∈??－6，0??
. 于是：当2x＋ππ
6＝0，即x＝－12时，f(x)取得最大值0； 当2x＋πππ
6＝－2，即x＝－3时，f(x)取得最小值－3.
2.(2017·郑州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝3bsin A. (1)求B；
(2)若cos A＝1
3，求sin C的值. 解 (1)在△ABC中，由ab
sin A＝sin B， 可得asin B＝bsin A， 又由asin 2B＝3bsin A，
得2asin Bcos B＝3bsin A＝3asin B， 又B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos B＝3
π2，得B＝6.
(2)由cos A＝1A∈(0，π)，得sin A＝22
3，3， 则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
五湖泛舟
π??
所以sin C＝sin?A＋?
6??26＋131
＝2sin A＋2cos A＝6.
ωxπ??
3.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin?ωx＋?＋2sin22(ω＞0)，已知函数f(x)的图
6??象的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求函数f(x)的解析式；
3
(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝2，△ABC的面积为S＝63，a＝27，求b，c的值. 31
解 (1)f(x)＝2sin ωx＋2cos ωx＋1－cos ωx π?31?
＝2sin ωx－2cos ωx＋1＝sin?ωx－?＋1.
6??∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π， ∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.
?π?
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin?x－?＋1.
6??π?13?
(2)由f(A)＝2，得sin?A－?＝2.
6??π
又∵A∈(0，π)，∴A＝3.
π11
∵S＝2bcsin A＝63，∴2bcsin 3＝63，bc＝24，
π
由余弦定理，得a2＝(27)2＝b2＋c2－2bccos 3＝b2＋c2－24. ∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.
ωx
4.(2016·济南名校联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋23cos22＋1－3(ω＞0)的周期为π.
(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间；
(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图象，若h(x)为奇函数，求φ的最小值.
五湖泛舟
ωx
解 (1)f(x)＝sin ωx＋23cos22＋1－3＝ 1＋cos ωx
sin ωx＋23×＋1－3
2
π
＝sin ωx＋3cos ωx＋1＝2sin(ωx＋3)＋1. 又函数f(x)的周期为π，因此π??
故f(x)＝2sin?2x＋?＋1.
3??
πππ
令2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)，
5ππ
得kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为5ππ??
?kπ－?(k∈Z). ，kπ＋
1212??
π??
(2)由题意可知h(x)＝2sin?2（x＋φ）＋?，
3??π
又h(x)为奇函数，则2φ＋3＝kπ，
kπππ∴φ＝2－6(k∈Z).∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值3. 5.(2016·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；
a2
(2)若△ABC的面积S＝4，求角A的大小. (1)证明 ∵b＋c＝2acos B及正弦定理， 得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B).
又A，B∈(0，π)，故0 2π ＝π，∴ω＝2. ω 五湖泛舟 所以，A＝2B. a21a2 (2)解 由S＝4得2absin C＝4， 1 故有sin Bsin C＝2sin 2B＝sin Bcos B， 因sin B≠0，得sin C＝cos B. π 又B，C∈(0，π)，所以C＝2±B. ππ 当B＋C＝2时，A＝2； ππ 当C－B＝2时，A＝4. 综上，A＝ ππ或A＝. 24 6.(2017·东北四市模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值. π?? 解 (1)f(x)＝2 cos2x－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos?2x＋?， 3??π 令2kπ≤2x＋3≤2kπ＋π(k∈Z)， ππ 解得kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)， ππ?? ∴函数y＝f(x)的单调递减区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z). 63??π?? (2)∵f(A)＝1＋2cos?2A＋?＝－1， 3??π?? ∴cos?2A＋?＝－1， 3?? ππ7πππ 又3＜2A＋3＜3，∴2A＋3＝π，即A＝3. ∵a＝7，