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1.2.1.任意角的三角函数(一)
学习目标.1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
知识点一.任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1.角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案.sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2.对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案.不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
思考3.在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案. sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. 梳理.(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
.
yrxryxyxyxyx精品文档
知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域
思考.对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
答案.由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义. 梳理.三角函数的定义域
函数名 正弦函数 余弦函数 正切函数
知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考.根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案.由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.当α为第一象限角时，y>0， x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.
定义域 R R ??π?x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z? 2??yxyx
梳理.记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识点四.诱导公式一
思考.当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等. 梳理.诱导公式一 sin?α＋k·2π?＝sin α， cos?α＋k·2π?＝cos α， tan?α＋k·2π?＝tan α， .
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其中k∈Z.
类型一.三角函数定义的应用
命题角度1.已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1.已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝解.由题意知r＝|OP|＝x＋9， 由三角函数定义得cos θ＝＝2
10
x，求sin θ，tan θ. 10
xrx . x2＋9
又∵cos θ＝10x10x，∴2＝x. 10x＋910
∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θ＝3103
＝，tan θ＝＝3. 22
1011＋33
当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝3103＝，tan θ＝＝－3. 22
10－1?－1?＋33
反思与感悟.(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝
yrx.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. r(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1.已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解.r＝?－3a?＋?4a?＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
2
2
y4a4x－3a3
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
r5a5r5a5
.
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83
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
55
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， 4a4－3a3
sin α＝＝－，cos α＝＝，
－5a5－5a583
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
55综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2.已知角α终边所在直线求三角函数值 例2.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋解.由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
3
的值. cos αx＝k，y＝－3k，r＝ k2＋?－3k?2＝10|k|.
(1)当k>0时，r＝10k，α是第四象限角， sin α＝＝yr－3k3101r10k＝－，＝＝＝10，
10cos αxk10k3?310?
∴10sin α＋＝10×?－?＋310
cos α?10?＝－310＋310＝0.
(2)当k<0时，r＝－10k，α是第二象限角，
y－3k310
sin α＝＝＝，
r－10k10
1r－10k＝＝＝－10， cos αxk3310∴10sin α＋＝10×＋3×(－10)
cos α10＝310－310＝0.
3
综上所述，10sin α＋＝0.
cos α反思与感悟.在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝
ba2＋b，cos α＝2
aa2＋b，tan α＝. 2
ba跟踪训练2.已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值. 解.因为角α的终边在直线y＝3x上，
.
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所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点， 则r＝a＋?3a?＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝3a3＝， 2a2
2
2
a1
cos α＝＝，
2a2
tan α＝
3aa＝3.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a， 3a3
所以sin α＝＝－，
－2a2
a1
cos α＝－＝－，
2a2
tan α＝
3aa＝3.
类型二.三角函数值符号的判断
例3.(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(..) A.第一象限 C.第三象限 答案.D
解析.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. 7π
①sin 182°；②cos(－43°)；③tan. 4解.①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. 7π
③∵是第四象限角，
47π
∴tan是负的，符号是“－”.
4
反思与感悟.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正
.
B.第二象限 D.第四象限
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切，四余弦.
跟踪训练3.(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角. 答案.二
解析.由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解.①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. π3π
②∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，
22∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 类型三.诱导公式一的应用 例4.求下列各式的值.
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
?11π?＋cos12π·tan 4π. (2)sin?－?6?5?
解.(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝11＋6＝. 44
π?2π?π2π1??(2)原式＝sin?－2π＋?＋cos?2π＋?·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝. 6?5?652??反思与感悟.利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4.求下列各式的值. 25π?15π?；
(1)cos＋tan?－
4?3??
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. π?π???8π＋－4π＋解.(1)原式＝cos?＋tan? 3?4?????ππ13
＝cos＋tan＝＋1＝. 3422
.
23116
×＋×＝＋22224
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(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于(..) 4A. 53C.－ 5答案.D
解析.由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，
3B. 54D.－ 5
x4
所以cos α＝＝－.故选D.
r5
11π
2.cos(－)等于(..)
61A. 2C.3 2
1B.－ 2D.－3 2
答案.C
11πππ3
解析.cos(－)＝cos(－2π＋)＝cos ＝. 6662
3
3.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于(..)
53A.－ 44C. 3答案.D 解析.∵cos α＝
2
2
3B. 44D.－ 3
3＝， 3＋y5
222
3
∴3＋y＝5，∴y＝16， 4
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－. 3
|sin α|cos α4.当α为第二象限角时，－的值是(..)
sin α|cos α|A.1
B.0
.
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C.2 答案.C
D.－2
解析.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴
|sin α|cos αsin αcos α－＝－＝2.
sin α|cos α|sin α－cos α5.已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解.当k>0时，令x＝24k，y＝7k， 则有r＝?24k?＋?7k?＝25k，
2
2
y7x24y7
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
r25r25x24
当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
y7x24y7
∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
r25r25x24
1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数. 2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.
课时作业
一、选择题
1.sin(－1 380°)的值为(..) 1
A.－ 2C.－3 2
1B. 2D.3 2
答案.D
解析.sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝3. 2
2
x，则x的值为(..) 4
2.已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cos α＝A.3 C.－2
.
B.±3 D.－3
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答案.D
解析.∵cos α＝＝
2
xrx2
＝x， x2＋54
2
∴x＝0或2(x＋5)＝16，∴x＝0或x＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝3(舍去)或x＝－3.故选D. 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为(..) A.第一象限角 C.第三象限角 答案.D
2π 2π??，cos 4.已知角α的终边上一点的坐标为?sin ，则角α的最小正值为(..) 33???A.C.5π
64π 3
B.D.2π 311π
6
B.第二象限角 D.第四象限角
答案.D
2π32π1
解析.∵sin ＝，cos ＝－.
3232∴角α的终边在第四象限， 2πcos
33
且tan α＝＝－，
2π3sin
3∴角α的最小正值为2π－
π11π＝. 66
3
5.已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t等于(..)
59A.－ 163C. 4答案.A
3
解析.sin(2kπ＋α)＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P的横坐标为
5正数，所以α是第四象限角，所以t＜0.又sin α＝9＝－. 16
.
B.
9 16
3D.－ 4
4t9＋16t，则2
3
＝－，所以t2
59＋16t4t精品文档
2π22
6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x＋y＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐
3标为(..) 3??1
A.?－，? ?22?3??1
C.?－，－?
2??2答案.A
2π??2π
解析.由三角函数定义可得Q?cos，sin ?，
33??2π12π3
cos ＝－，sin＝.
3232
7.如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在(..) A.第一象限 C.第三象限 答案.C
解析.由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
?sin θ＜0，?∴???cos θ＜0，
B.?－D.?－?
???
31?，－? 22?31?，? 22?
B.第二象限 D.第四象限
∴θ为第三象限角.
8.若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于(..) 1A.± 525C.±
5答案.C 二、填空题
9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案.3 2
B.±5 5
1D.± 2
解析.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋
33＝. 22
10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案.一或二
解析.要使原式有意义，需cos αtan α>0， 即需cos α，tan α同号，
.
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所以α是第一或第二象限角.
11.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝ . 答案.2
解析.∵y＝3x且sin α<0，
∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上， 且m<0，n<0，n＝3m. ∴|OP|＝m＋n＝10|m| ＝－10m＝10， ∴m＝－1，n＝－3， ∴m－n＝2.
|sin x||cos x|2|sin xcos x|12.函数y＝＋－的值域是 .
sin xcos xsin xcos x答案.{－4，0，2}
解析.由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上， 当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0， sin xcos x>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0， sin xcos x<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0， sin xcos x>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0， sin xcos x<0，y＝2.
|sin x||cos x|2|sin xcos x|
故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}.
sin xcos xsin xcos x三、解答题 13.化简下列各式：
75π
(1)sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ；
224(2)asin 810°－bcos 900°＋2abtan 1 125°. 3π
解.(1)原式＝sin π＋cos ＋cos π＋1
22＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝asin 90°－bcos 180°＋2abtan(3×360°＋45°) ＝a＋b＋2abtan 45°＝a＋b＋2ab＝(a＋b).
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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四、探究与拓展
14.已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，则sin θ＋cos θ＝ . 答案.0或－2
解析.∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)， 1
∴tan θ＝－. x又tan θ＝－x， ∴x＝1，即x＝±1. 当x＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝， 22
2
因此sin θ＋cos θ＝0； 当x＝－1时，sin θ＝－
22
，cos θ＝－， 22
因此sin θ＋cos θ＝－2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－2.
11
15.已知＝－，且lg(cos α)有意义.
|sin α|sin α(1)试判断角α所在的象限；
?3?(2)若角α的终边与单位圆相交于点M?，m?，求m的值及sin α的值.
?5?
11
解.(1)∵＝－，
|sin α|sin α∴sin α＜0. ∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.
由①②得角α在第四象限. 3
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
53224∴()＋m＝1，解得m＝±. 55又α是第四象限角， 4∴m＜0，∴m＝－.
5
4
由三角函数定义知，sin α＝－.
5
②
①
.