loading第八章 重积分习题全解
习题 8－1
1． 利用二重积分定义证明：
（1）（2）
；
??d??? （ 其中?是D的面积）
D； ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d? （k为常数）
DD2．证明性质8 中（1）设积分域D关于x轴对称,D1表示D中y?0的部分, （i)若f(x,y)是y的奇函数,即f(x,?y)??f(x,y),则（ii)若f(x,y)是y的偶函数,即f(x,?y)?f(x,y),则证：由积分域D关于x轴对称,D1表示D中
??f(x,y)d??0；
D??f(x,y)d??2??f(x,y)d?。
DD1yy??(x)D1y?0的部分,则积分与如图8-1所示。则
??Df(x,y)d???dx?ab?(x)??(x)f(x,y)dy
OaDbx若f(x,?y)??f(x,y),则
y???(x)图8-1
b??Df(x,y)d???dx?ab?(x)??(x)f(x,y)dy??0dx?0a 若f(x,?y)?f(x,y),则
??Df(x,y)d???dx?ab?(x)??(x)f(x,y)dy?2?dx?ab?(x)0f(x,y)dy?2??f(x,y)d?。
D13．设I1?223(x?y)d?，其中D1是矩形闭区域：?1?x?1,?2?y?2；又??D1I2???(x2?y2)3d?，其中D2是矩形闭区域：0?x?1,0?y?2．试用二重积分的
D2对称性质表示I1与I2之间的关系． 解：I1?223223(x?y)d??4(x?y)d??4I2 ????D1D24．设D是由x?y?1,x?y?1及x?0所围成的三角
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图8-2
形，根据二重积分的对称性计算二重积分
??yd?.
D解：画出积分区域D的草图8-2，可见D对称于x轴，而被积函数f(x,y)?y对y是奇函数，因此
??yd??0。
D5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）
32(x?y)d?，其中积分区域D是由x轴，y轴与直线(x?y)d?与 ????DDx?y?1所围成；
（2）ln(x?y)d?与
D??2[ln(x?y)]d?，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为（1，0），??D（1，1），（2，0）．
解（1）画出积分区域D，D?(x,y)x?0,y?0,x?y?1，如图8-3 由于(x?y)?(x?y)?(x?y)(1?x?y)，所以，在D上
232??(x?y)2(1?x?y)，即(x?y)2?(x?y)3
由积分估值定理得：解（2）
23(x?y)d??(x?y)d? ????DD2??ln(x?y)d????[ln(x?y)]d?。
DD6． 利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）I?图8-3
??Dxy(x?y)d?， 其中D是矩形闭区域：
0?x?2,0?y?2．
（2）I???sin2xsin2yd?D，其中D是矩形闭区域：0?x??,0?y??．
（3）I???(x2?4y2?9)d?，其中D是圆形闭区域：x2?y2?4．
D解（1）在D上f(x,y)?xy(x?y)，则fmin(x,y)?0,fmax(x,y)?4， 又D的面积
??2?2?4，故由估值不等式得： 0?0?I?4?4，即0?I?16。
解（2）因为0?sin2x?1,0?sin2y?1，所以0?I??2。
22解（3）在D上f(x,y)?x?4y?9
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