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微专题81 排列组合——寻找合适的模型
在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 一、典型例题：
例1：设集合A由n个元素构成，即A??a1,a2,L,an?，则A所有子集的个数为_______ 思路：可将组成子集的过程视为A中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从a1开始，有两种选择，同样后面的a2,a3,L,an都有两种选择，所以总数
nN?222?L1?444?432?2个
n个答案：2n
例2：已知S??1,2,3,L,40?，A?S且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（ ）个
A. 460 B. 760 C. 380 D. 190
思路：设A中构成等差数列的元素为a,b,c，则有2b?a?c，由此可得a,c应该同奇同偶，而当a,c同奇同偶时，则必存在中间项b，所以问题转变为只需在1?40中寻找同奇同偶数的情况。a,c同为奇数的可能的情况为C20，同为偶数的可能的情况为C20，所以一共有
22?C20?380种
2
2答案：C
例3：设集合A?x1,x2,x3,x4,x5?|xi???1,0,1?,i??1,2,3,4,5?，那么集合A中满足条件“1?x1?x2?x3?x4?x5?3”的元素个数为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 130
思路：因为xi?0或xi?1，所以若1?x1?x2?x3?x4?x5?3，则在xi?i?1,2,3,4,5?中至少有一个xi?1，且不多于3个。所以可根据xi中含0的个数进行分类讨论。
23① 五个数中有2个0，则另外3个从1,?1中取，共有方法数为N1?C5?2 32② 五个数中有3个0，则另外2个从1,?1中取，共有方法数为N2?C5?2
??
4③ 五个数中有4个0，则另外1个从1,?1中取，共有方法数为N3?C5?2 23324所以共有N?C5?2?C5?2?C5?2?130种
答案：D
例4：设集合A?{1,2,3,L,10}，设A的三元素子集中，三个元素的和分别为a1,a2,L,an，求a1?a2?L?an的值
思路：A的三元子集共有C10个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的1,2,L,10各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这C10个子集中共含有多少个1,2,L,10。以1为例，含1的子集可视为集合中有元素1，剩下两个元素从9个数中任取，不同的选取构成不同的含1的子集，共有C9个，所以和为1?C9，同理，含2
222的集合有C9，其和为2?C9……，含10的集合有C9个，其和为10?C9所以
233222a1?a2?L?an?C9?1?2?L?10??1980
答案：1980
例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少
思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而
222C6C4C23将问题转化为分组问题。则N??A3?90（种） 3A3答案：90
例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（ ）对异面直线
A. 450 B. 441 C. 432 D. 423
思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为
4寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有4?C6?60，每条棱与对棱
中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点共
44面的情况共有4C6?6?3?69种，所以四点不共面的情况有C10?69?141种，从而异面直
线的对数为N?141?3?423种 答案：D
小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而将所考虑的问题简单化
例7：设A是整数集的一个非空子集，对于k?A，如果k?1?A且k?1?A，那么称k是集合A的一个“孤立元”，给定S??1,2,3,4,5,6,7,8?，则S的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）
A. 6 B. 15 C. 20 D. 25
思路：首先要理解“k?A，则k?1?A且k?1?A”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插
3空法可得：C6?20种
答案：C
例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个 思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可
4组成多少个四边形的问题，所以共有C20?4845个
答案：4845个
例9：一个含有10项的数列?an?满足：a1?0,a10?5,ak?1?ak?1,(k?1,2,L,9)，则符合这样条件的数列?an?有（ ）个
A. 30 B. 35 C. 36 D. 40
思路：以ak?1?ak?1为入手点可得：ak?1?ak?1，即可视为在数轴上，ak向左或向右移动一个单位即可得到ak?1，则问题转化为从a1?0开始，点向左或向右移动，总共9次达到
a10?5，所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。所以
2不同的走法共有C9?36种，即构成36种不同的数列