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单自由度系统固有频率和阻尼比的测定实验
一、实验内容
1、学习分析系统自由衰减振动的波形； 2、验证固有频率的存在；
3、由衰减振动波形确定系统固有频率和阻尼比；
二、实验设备
振动与控制实验设备、位移传感器、测振仪、计算机与分析软件
三、实验原理
振动与控制实验设备如右上方图所示，单自由度系统的力学模型如右下方图所示。当给质量M一定初始扰动时，系统作自由衰减振动，其运动微分方程为：
d2xdxM2?C?Kx?0dtdt 2dxdx和2?2n??2x?0dtdt或 （1）
d2xdx2?2????x?0 2dtdt式中，??K/M为系统固有频率， n?C/2M为阻尼系数，??n/?为阻尼比。
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对于小阻尼情形??1,其方程有解如下：x?Ae?msin(?1t??0)式中A?系统初始振幅，（2）?0?初相位，?1?衰减振动圆频率。并且有：
?1??2-n2??1??2
设t=0 时，系统的位置和速度分别为x0和v0 , 则
(v0?nx0)2A?x0??2?n22(3)(4)tan??x0??n(v0?nx0)222
(5)其衰减振动有如下特点：
1、振动周期 大于无阻尼时的自由振动周期，即T1>T2
T1?2??1?2???n22?2??1??2?T1??2(6)
系统固有频率为：f0?11?TT11??2(7)2、振幅按指数函数衰减，设相邻两次振动的振幅分别为Ai和Ai+1，则减幅系数为：
??对数减幅系数Ai?enT1Ai?1(8)(9)??ln??nT1?j?Ai?ejnT1Ai?j2n2?n,??n2?()2,??MT1?第 2 页
另外，相隔j个周期的两次振动，其振幅之比设为?j,则
（10）
（11）?j?ln?j?jnT1则：
n??jjT,C?
四、实验步骤
1. 试验1：采用1个质量块，施加较小的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。 2. 试验2：采用1个质量块，施加较大的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。 3. 设定周期数j，此试验取30，读出j个波形所经历的时间t，记录其波形的幅
值。 4. 计算系统阻尼比?和固定频率f0
五、数据处理与实验结果分析
表5-1 原始数据记录
试验1 试验2 X1 10.36 X1 29.60 Y11 16.75 Y11 23.11 X2 14.14 X2 33.40 Y21 10.48 Y21 18.04 dX 3.78 dX 3.80 dY1 -6.27 dY1 -5.09 试验1（单个质量块，力F较小）： 由试验所测数据计算得到的周期为：
T?3.78/30?0.126s,f0?
1?7.936HzT振幅之比设为?j,则
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?j?Ai16.75??1.60 Ai?j10.48?j?ln?j?ln(1.60)?0.47
?jjTn???j0.470.47?0.124,则有T1???0.126s30?0.126jn30?0.1242?22?2)?0.1242?()?49.86 T10.126n?0.124?2.487?10?3 49.86??n2?(???试验2（单个质量块，力F较大）： 由试验所测数据计算得到的周期为：
T?3.80/30?0.126s,f0?1?7.936HzT
振幅之比设为?j,则 ?j?Ai23.11??1.28 Ai?j18.04?j?ln?j?ln(1.28)?0.25
?jjTn???j0.280.28?0.074,则有T1???0.126s30?0.126jn30?0.0742?22?2)?0.0742?()?49.86 T10.126n?0.074?1.484?10?3 49.86??n2?(??
? 由以上数据处理结果可以得到，试验1和试验2在不同大小的作用力下，悬
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臂梁的固有频率一致，均为7.69Hz。 试验3（两个质量块）：
由试验所测数据计算得到的周期为：
T?3.94/30?0.131s,f0?1?7.614Hz T振幅之比设为?j,则 ?j?Ai32.24??1.48 Ai?j21.76?j?ln?j?ln(1.48)?0.39
?j0.390.39n???0.099,则有T1???0.131sjT30?0.131jn30?0.099?j??n2?(2?22?2)?0.0992?()?47.96 T10.131n?0.099?2.06?10?3 47.96???六、试验思考
1、试验过程较为简单，只是通过给悬臂杆一个外力后让其振动，测量到它的振动波形图就行了。
2、关于所测得的频率是否就是结构的固有频率，怎么证明固有频率的存在性，试验通过施加不同的力，但是测量计算得到的频率保持不变，说明了固有频率的存在性。
3、根据公式，固有频率与结构的刚度和质量有关，通过改变质量块的数量，模拟质量的改变，结果表明频率发生了改变。
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